Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 88 стр.

 88           Тема    IV. Условная вероятность. Независимость событий


   79. Из урны, содержащей 3 белых и 2 черных шара, отобрали
два шара. Шар, взятый наудачу из этих двух, оказался белым.
Какова вероятность того, что второй шар тоже белый?
    80. Разыскивая специальную книгу, студент решил обойти
три библиотеки. Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть
в ее фондах книга или нет. И если книга есть, то одинаково веро-
ятно, занята она другим читателем или нет. Что более вероятно:
достанет студент книгу или нет, если известно, что библиотеки ком-
плектуются независимо одна от другой?
    81. Эксперимент состоит в том, что на отрезок [0, 1] неза-
висимо одна от другой бросается наудачу ν точек, где случай-
ное число ν принимает значение k = 0, 1, 2, . . . с вероятностью
λk −λ                                                     i−1 i
k! e . Обозначим ηi число точек, попавших в интервал ( n , n ),
i = 1, 2, . . . , n. При каких λ величины ηi независимы?
      Подсказка. Показать, что
                                        Q
                                        n
       P {η1 = y1, . . . , ηn = yn} =         P {ηi = yi}, ∀yi > 0.
                                        i=1
    82. Вероятность того, что молекула, испытавшая в момент
t = 0 столкновение с другой молекулой и не имевшая других
столкновений до момента t > 0, испытает столкновение в про-
межуток времени от t до t + ∆t равна λ∆t + o(∆t). Найти веро-
ятность того, что время свободного пробега τ (т.е. время между
двумя соседними столкновениями) будет больше t.
   Подсказка. Показать, что функция H(t) = P {τ > t} удо-
влетворяет дифференциальному уравнению H 0(t) = −λH(t).
    83.> (Задача о разорении.) A и B, имеющие соответственно
капитал a и b рублей, играют в азартную игру, состоящую из от-
дельных партий. Каждая партия с вероятностью 1/2 оканчивает-
ся выигрышем первого игрока и с вероятностью 1/2 — выигрышем
второго игрока. После каждой партии проигравший уплачивает 1