Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 93 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ответы и указания 93
28. Пусть N = W + B + C. i)
C
w
W
C
b
B
R
C
w+b
N
(N −w −b)
;
ii)
B+1
P
k=1
C
k−1
B
R
C
k−1
N
(N −k + 1)
; iii)
C
k−1
W +B
R
C
k−1
N
(N −k + 1)
;
29.
B
2
B
2
+ BW + W
2
. 30.
W +1
P
k=1
A
k−1
W
A
k+1
B
A
2k
W +B
. С возвращением
0.4961, без возвращения 0.4949.
31. x =
1
3
. Рассмотреть случаи x 6
1
3
,
1
3
< x 6
1
2
, x >
1
2
.
Второй случай свести к первому, перейдя к дополнительному собы-
тию. Показать, что в третьем случае не может быть независимости.
32.
57
115
. Пусть событие Z
k
— студент знает k -ый вопрос.
Найти P {Z
1
Z
2
Z
3
} с помощью соотношения задачи 11. Другой
способ — через гипергеометрическую модель.
33.
p
8 − 7p
. Ввести события L
k
— письмо в k -ом ящи-
ке и B — письмо в столе. Найти условную вероятность
P {L
8
| (L
1
)
c
∩ ··· ∩ (L
7
)
c
}.
34. Да, если одна из картинок наклеивается только в паре с
другой.
35.
6
10
− 3 · 5
10
6
10
− 5
10
. 36. i)
3
49
; ii)
1
25
.
37. Применить равенство BF = F
@@
(F B
c
). 38. 0.
39.
p − ε
1 − ε
6 P {F | B} 6
p
1 − ε
. Оценка снизу достигается
при условии F
c
B
c
= ∅, оценка сверху — при F ⊂ B.
40.
1
2
. Найти вероятность P {A
c
∪ B
c
∪ C
c
}; оценить сверху
(не единицей) вероятность P {A
c
∩ B
c
∩ C
c
}; решить неравенство
относительно p; модернизировав пример 4, показать неулучшае-
мость полученной оценки.
41.
P {C}−P {AC}−P {BC}+ P {ABC}
1 − P {A}−P {B}+ P {AB}
. 42. (a)
7
12
; (b)
5
7
.
43. i) да. Применить формулу полной вероятности.
                                     Ответы и указания                                  93


                                                     CwW CbB R
      28. Пусть N = W             + B + C. i) w+b               ;
                                                 CN (N − w − b)
      P
      B+1
                Ck−1
                  B R
                                            Ck−1
                                              W +B R
ii)         k−1             ;       iii)  k−1            ;
      k=1 C N   (N − k + 1)              CN (N − k + 1)

                    B2                        P
                                              W +1
                                                  Ak−1
                                                   W AB
                                                        k+1
      29.    B 2 + BW + W 2
                                 .      30.                       .     С возвращением
                                              k=1  A2k
                                                     W +B
0.4961, без возвращения 0.4949.
   31. x = 13 . Рассмотреть случаи x 6 13 , 31 < x 6 12 , x > 12 .
Второй случай свести к первому, перейдя к дополнительному собы-
тию. Показать, что в третьем случае не может быть независимости.
        57
    32. 115 . Пусть событие Zk — студент знает k -ый вопрос.
Найти P {Z1Z2Z3} с помощью соотношения задачи 11. Другой
способ — через гипергеометрическую модель.
   33. 8 −p 7p . Ввести события Lk — письмо в k -ом ящи-
ке и B — письмо в столе. Найти условную вероятность
P {L8 | (L1)c ∩ · · · ∩ (L7)c} .
   34. Да, если одна из картинок наклеивается только в паре с
другой.
             610 − 3 · 510              3              1
      35.     610 − 510
                             .   36. i) 49 ;     ii)
                                                       25
                                                          .
      37. Применить равенство BF = F @ (F B c).                           38. 0.
   39. p1 −
          −ε
            ε
              6   P {F  | B} 6    p
                                1−ε
                                     . Оценка снизу достигается
при условии F cB c = ∅, оценка сверху — при F ⊂ B.
    40. 12 . Найти вероятность P {Ac ∪ B c ∪ C c}; оценить сверху
(не единицей) вероятность P {Ac ∩ B c ∩ C c}; решить неравенство
относительно p; модернизировав пример 4, показать неулучшае-
мость полученной оценки.
             P {C} − P {AC} − P {BC} + P {ABC}                                7
      41.        1 − P {A} − P {B} + P {AB}
                                                              .       42. (a) 12 ; (b) 57 .
      43. i) да. Применить формулу полной вероятности.

Страницы