Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 95 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Ответы и указания 95
77. Одинаковы. 78.
1
100
. 79.
1
2
.
80. Достанет — P =
37
64
>
1
2
.
81. При любых λ > 0. Если y
1
+ . . . + y
n
= k, то
только для j = k отлична от нуля условная вероятность
P {η
1
= y
1
, . . . , η
n
= y
n
| ν = j}. Поэтому (по схеме выбора из n -
цветной урны k шаров с возвращением)
P {η
1
= y
1
, . . . , η
n
= y
n
} =
k!
y
1
! ···y
n
!
1
n
k
λ
k
e
−λ
k!
=
n
Q
i=1
1
y
i
!
λ
y
i
e
−λ/n
n
y
i
.
82. H(t) = e
−λt
. Условная вероятность
P {t 6 τ < t + ∆t | τ > t} =
H(t) − H(t + δt)
H(t)
= λ∆t + o(∆t).
83.
a
a + b
. Подставить в общее решение π
b
= x + y b краевые
условия π
0
= 1, π
a+b
= 0. Единственность решения доказать по
индукции.
84.
¡
p
/
q
¢
a+b
−
¡
p
/
q
¢
b
¡
p
/
q
¢
a+b
− 1
.
85. Увеличится. Выгоднее всего игра ва-банк. Например, ес-
ли иметь 1000 рублей (b = 1000) и мечтать выиграть 100 рублей
(a = 100) в рулетку, ставя на красное по 1 рублю, то вероятность
осуществления мечты 1 − π
b
= 0.0045. Если же в каждой партии
ставить по 100 рублей и уйти восвояси как только наличный ка-
питал станет равным 1100, то эта вероятность будет равна 0.883.
(Цифры приведены для рулетки с 18 красными, 18 черными поля-
ми и 1 ,,zero‘‘.)
86.
1
2
. Если первый студент взял k -й билет, то следующие
за ним k − 2 студента будут брать свои билеты, а (k − 1) -й, ко-
гда придет его время, будет выполнять роль стушевавшегося 1-го
студента. Вывести из этих соображений рекуррентное соотноше-
ние для вероятностей π
n
, n = 2, 3, . . . , получения своего билета
                                Ответы и указания                      95

                        1
    77. Одинаковы. 78. 100 .              79. 21 .

    80. Достанет — P = 37
                       64
                          > 12 .
   81. При любых λ > 0. Если y1 + . . . + yn = k, то
только для j = k отлична от нуля условная вероятность
P {η1 = y1, . . . , ηn = yn | ν = j} . Поэтому (по схеме выбора из n -
цветной урны k шаров с возвращением)
                                    
                                    k!       1 λk e−λ   Qn
                                                             1 λyi e−λ/n
P {η1 = y1, . . . , ηn = yn} = y ! · · · y ! k        =           nyi
                                                                         .
                                  1       n n   
                                                k!      i=1
                                                            yi !

    82. H(t) = e−λt. Условная вероятность
                             H(t) − H(t + δt)
P {t 6 τ < t + ∆t | τ > t} =       H(t)
                                              = λ∆t + o(∆t).
          a
   83. a +  b
              . Подставить в общее решение πb = x + y b краевые
условия π0 = 1, πa+b = 0. Единственность решения доказать по
индукции.
          ¡         ¢a+b   ¡    ¢b
              p/q        − p/q
    84.         ¡      ¢             .
                    p/q a+b − 1

    85. Увеличится. Выгоднее всего игра ва-банк. Например, ес-
ли иметь 1000 рублей (b = 1000) и мечтать выиграть 100 рублей
(a = 100) в рулетку, ставя на красное по 1 рублю, то вероятность
осуществления мечты 1 − πb = 0.0045. Если же в каждой партии
ставить по 100 рублей и уйти восвояси как только наличный ка-
питал станет равным 1100, то эта вероятность будет равна 0.883.
(Цифры приведены для рулетки с 18 красными, 18 черными поля-
ми и 1 ,,zero‘‘.)
    86. 12 . Если первый студент взял k -й билет, то следующие
за ним k − 2 студента будут брать свои билеты, а (k − 1) -й, ко-
гда придет его время, будет выполнять роль стушевавшегося 1-го
студента. Вывести из этих соображений рекуррентное соотноше-
ние для вероятностей πn, n = 2, 3, . . . , получения своего билета

Страницы