Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

98 Т е м а V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение
Если количество испытаний в схеме Бернулли конечно, то ча-
ще всего интересуются только числом испытаний, закончившихся
успехом.
Пример 1. Чему равна вероятность того, что при N испы-
таниях в схеме Бернулли (N < ∞) ровно k испытаний закончатся
успехом?
Решение. Один вариант N -мерного вектора возможных ис-
ходов, в котором ровно k успешных исходов (ровно k единиц),
можно представить как
(
k
z }| {
1, 1, . . . , 1,
N−k
z }| {
0, 0, . . . , 0 ) . (?)
Вероятность этого конкретного исхода в силу условия независи-
мости и одинаковой вероятности успеха во всех испытаниях равна
p
k
(1 − p)
N−k
.
Остальные эксперименты, в которых ровно k успешных ис-
пытаний, отличаются от представленного только перестановками
единиц внутри N -мерного вектора. Как известно, число таких пе-
рестановок равно C
k
N
.
Случайное число ξ, равное числу успешных исходов в N
испытаниях в схеме Бернулли с одинаковой вероятностью
успеха p в каждом испытании, называется биномиальной
случайной величиной. Биномиальная случайная величина опи-
сывается моделью
X =
0, 1, . . . , N
®
,
P
B
(k | N, p) := P {ξ = k} = C
k
N
p
k
(1 − p)
N−k
, k ∈ X,
и коротко обозначается как ξ v Bin(N, p) .
1. Докажите, что сумма вероятностей
N
P
k=0
P
B
(k | N, p) = 1 .
98         Тема   V. Схема Бернулли. Биномиальное распределение


   Если количество испытаний в схеме Бернулли конечно, то ча-
ще всего интересуются только числом испытаний, закончившихся
успехом.
   Пример 1. Чему равна вероятность того, что при N испы-
таниях в схеме Бернулли (N < ∞) ровно k испытаний закончатся
успехом?
     Решение. Один вариант N -мерного вектора возможных ис-
ходов, в котором ровно k успешных исходов (ровно k единиц),
можно представить как
                             k
                       z }|          { z N}|  −k
                                                      {
                     ( 1, 1, . . . , 1, 0, 0, . . . , 0 ) . (?)
Вероятность этого конкретного исхода в силу условия независи-
мости и одинаковой вероятности успеха во всех испытаниях равна
pk (1 − p)N −k .
     Остальные эксперименты, в которых ровно k успешных ис-
пытаний, отличаются от представленного только перестановками
единиц внутри N -мерного вектора. Как известно, число таких пе-
рестановок равно CkN .

 Случайное число ξ, равное числу успешных исходов в N
 испытаниях в схеме Бернулли с одинаковой вероятностью
 успеха p в каждом испытании, называется биномиальной
 случайной величиной. Биномиальная случайная величина опи-
 сывается моделью
           ­              ®
       X = 0, 1, . . . , N ,
       PB(k | N, p) := P {ξ = k} = CkN pk (1 − p)N −k , k ∈ X ,

 и коротко обозначается как ξ v Bin(N, p) .

                                                  P
                                                  N
     1. Докажите, что сумма вероятностей                PB(k | N, p) = 1 .
                                                  k=0

Страницы