Задачи по теории вероятностей. Симушкин С.В - 99 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

Теория и примеры 99
Пример 2. Чему равна вероятность ничейного исхода матча
из шести партий между равносильными шахматистами?
Решение. Результат зависит от вероятности ничейного исхо-
да одной партии. Предположим пока, что ничьи не учитываются
в протоколе матча. Таким образом, мы находимся в рамках бино-
миальной модели с 6 испытаниями и вероятностью успеха в одном
испытании p =
1
/
2
(т.к. игроки равносильны). Искомая вероят-
ность равна
P
B
³
3
¯
¯
6,
1
2
´
= C
3
6
³
1
2
´
3
³
1
2
´
3
=
20
2
6
= 0.3125.
Общий случай с положительной вероятностью ничейного исхо-
да требует применения полиномиальной схемы (см. ниже).
Пример 3. Летняя сессия студента Гены Зубрилова выдалась
очень жаркой (до +30
o
C ) и длинной (пять экзаменов), так что
подготовить он сумел только
3
/
4
билетов по каждому предмету.
Какова вероятность, что его отчислят сразу после сессии и даже
не допустят к пересдаче?
Решение. По правилам деканата отчисление производится сра-
зу после сессии, если студент не сумел сдать с первого раза больше
одного предмета. Будем считать, что каждый экзамен есть испы-
тание в схеме Бернулли с вероятностью успеха (сдачи) p =
3
/
4
. В
такой постановке перед нами стоит задача отыскания для случай-
ного числа ξ v Bin(5,
3
/
4
) вероятности P {ξ 6 3}. Заметим, что
противоположное событие {ξ > 4} содержит меньше элементов,
поэтому лучше найти вероятность этого события, а затем восполь-
зоваться формулой для вероятности дополнительного события:
P {ξ > 4} = P
B
¡
4
¯
¯
5,
3
4
¢
+ P
B
¡
5
¯
¯
5,
3
4
¢
=
= C
4
5
³
3
4
´
4
³
1
4
´
1
+ C
5
5
³
3
4
´
5
³
1
4
´
0
=
5 · 81
1024
+
1 · 243
1024
=
648
1024
.
                               Теория и примеры                                     99



   Пример 2. Чему равна вероятность ничейного исхода матча
из шести партий между равносильными шахматистами?
   Решение. Результат зависит от вероятности ничейного исхо-
да одной партии. Предположим пока, что ничьи не учитываются
в протоколе матча. Таким образом, мы находимся в рамках бино-
миальной модели с 6 испытаниями и вероятностью успеха в одном
испытании p = 1/2 (т.к. игроки равносильны). Искомая вероят-
ность равна
              ³ ¯ 1´         ³ 1 ´3³ 1 ´3 20
            PB 3 ¯ 6,      3
                        = C6             = 6 = 0.3125.
                      2        2     2    2
   Общий случай с положительной вероятностью ничейного исхо-
да требует применения полиномиальной схемы (см. ниже).
   Пример 3. Летняя сессия студента Гены Зубрилова выдалась
очень жаркой (до +30oC ) и длинной (пять экзаменов), так что
подготовить он сумел только 3/4 билетов по каждому предмету.
Какова вероятность, что его отчислят сразу после сессии и даже
не допустят к пересдаче?
    Решение. По правилам деканата отчисление производится сра-
зу после сессии, если студент не сумел сдать с первого раза больше
одного предмета. Будем считать, что каждый экзамен есть испы-
тание в схеме Бернулли с вероятностью успеха (сдачи) p = 3/4 . В
такой постановке перед нами стоит задача отыскания для случай-
ного числа ξ v Bin(5, 3/4 ) вероятности P {ξ 6 3} . Заметим, что
противоположное событие {ξ > 4} содержит меньше элементов,
поэтому лучше найти вероятность этого события, а затем восполь-
зоваться формулой для вероятности дополнительного события:
                 ¡ ¯ 3¢       ¡ ¯ 3¢
                    ¯
  P {ξ > 4} = PB 4 5,     + PB 5 ¯ 5,  =
                           4               4
               ³ ´4 ³ ´1             ³ ´5 ³ ´0
                3    1                3    1         5 · 81       1 · 243       648
     =   C45               +   C55               =            +             =        .
                4    4                4    4         1024          1024         1024

Страницы