Составители:
47
3. Если функции F
i
(X), i=1,2,…, m выпуклы, то при любых действи-
тельных
0
i
α≥
функция
1
(
)
m
i
i
FX
=
α
∑
также является выпуклой.
Отличительной особенностью выпуклых функций является то обсто-
ятельство, что любая из них имеет не более одной точки, в которой все
ее частные производные обращаются в нуль. Если такая точка суще-
ствует, то она и является экстремумом. В зависимости от ограничений
область определения переменных может быть такой, что упомянутая
точка отсутствует вообще. В этом случае экстремум следует искать
где-то на границе области определения функции.
Задача выпуклого программирования в общем виде может быть
сформулирована следующим образом. Пусть критериальная функ-
ция
12
( , ,...,
)
n
ЕЕxx x=
в своей области определения является либо вы-
пуклой, либо вогнутой функцией, а все ограничения
12
( , ,..., )
jn
j
gxx x
b
≤
являются функциями выпуклыми. Тогда оптимальное решение соответ-
ствует такой точке, удовлетворяющей ограничениям, в которой выпук-
лая функция
12
( , ,...,
)
n
ЕЕxx x=
достигает своего минимального значе-
ния, а вогнутая – максимального.
Поскольку задача выпуклого программирования является частным
случаем задачи нелинейного программирования с одним локальным эк-
стремумом, общий метод ее решения не отличается от рассмотренно-
го выше. Интересен случай, когда целевая функция и функции ограни-
чений представляют собой так называемые сепарабельные функции,
т.е. функции, каждая из которых может быть представлена в виде сум-
мы функций одной переменной
12
1
( , ,..., ) ( ), ma
x,
n
nii
i
Ex x x E x
=
=→
∑
12
1
( , ,..., ) (
).
n
jniji
i
gxx x gx
=
=
∑
В этом случае существует приближенный метод решения задач вы-
пуклого программирования, основанный на замене нелинейных функций
их линейными аналогами и сведении задачи к задаче линейного про-
граммирования [11]. Пусть существует некоторая выпуклая или вог-
нутая функция h(x), определенная на интервале [0,a]. Разобьем ин-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
