ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
453
менить к двум-пяти параллельным анализам, которые в состоянии вы-
полнить аналитик, заключения о возможной случайной ошибке могут
быть ошибочными и слишком оптимистичными. В таких случаях
требуется модификация методов.
IX.1.6.1. Оценка случайной погрешности прямых измерений
Перейдем теперь к рассмотрению основ теории случайных по-
грешностей, позволяющей оценить величину погрешности для серии
измерений.
В основе теории погрешностей лежат два предположения, под-
тверждаемых опытами.
1. При большом числе измерений случайные погрешности оди-
наковой величины, но разного знака, т.е. погрешности как в сторону
уменьшения, так и в сторону увеличения, встречаются одинаково час-
то.
2. Большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются
реже, чем малые, т.е. вероятность появления погрешности уменьшает-
ся с ростом величины погрешности.
Предположим, что мы произвели n прямых (непосредственных)
измерений некоторой физической величины, истинное значение кото-
рой (нам неизвестное) обозначим через а. Обозначим через а
1
, а
2
, ..., а
n
результаты отдельных измерений, а через (∆а
i
*
= а - а
i
)
- истинную аб-
солютную погрешность (ошибку) i-того измерения. Тогда результа-
ты измерений можно представить в виде
а
1
= а - ∆а
1
*
,
а
2
= а - ∆а
2
*
, ( 9.1 )
. . . . . . . . . . .
а
n
= а - ∆а
n
*
,
Естественно, что абсолютные погрешности
∆
а
1
*
,
∆
а
2
*
, ...,
∆
а
n
*
могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.
Суммируя левую и почленно правую части равенств (9.1), полу-
чаем:
Σа
i
= na - Σ∆а
i
*
( 9.2 )
Если ввести среднеарифметическую величину
а
ср
= (1/n)⋅Σа
i
, ( 9.3 )
то, разделив обе части равенства (9.2) на число измерений n, получаем
после перестановки членов:
а = а
ср
= (1/n)⋅ Σ∆а
i
*
.
( 9.4 )
Если число n измерений достаточно велико (т.е. n → ∞), то
lim (1/n)⋅ Σ∆а
i
*
= 0 , ( 9.5 )
454
n → ∞ i=1
так как в серии из большого числа измерений всякой положительной
погрешности можно сопоставить равную ей по абсолютной величине
отрицательную погрешность.
Из (9.4) следует, что
а = а
ср
при n → ∞, ( 9.6 )
т.е. при бесконечно большом числе измерений истинное значение из-
меряемой величины равно среднеарифметическому значению а
ср
всех
результатов произведенных измерений при отсутствии системати-
ческих ошибок (погрешностей). Однако при ограниченном измерений
(n
≠
∞
) среднеарифметическое значение а
ср
будет отличаться от истин-
ного значения а, т.е. равенство ( 9.6 ) будет не точным, а приближен-
ным:
а ≈ а
ср
(9.7)
и нам нужно оценить величину этого расхождения.
Появление того или иного значения а
i
в процессе измерения яв-
ляется случайным событием. Существует некоторая вероятность появ-
ления этого значения в интервале а
i
- (1/2)dа
i
, а
i
+ (1/2)dа
i
, а следова-
тельно, и появления соответствующего значения абсолютной погреш-
ности (ошибки)
∆
а
i
*
.
За вероятность y(a
i
)da
i
появления величины а
i
в интервале da
i
принимают относительную частоту появления значений а
i
в интервале
da
i
, т.е. отношение числа всех значений а
i ,
попадающих
в интервал da
i
,
к числу всех значений а
i
(при n → ∞ ).
Эта вероятность, как показывается в теории вероятностей, опре-
деляется законом нормального распределения Гаусса (рис.9.2а):
y(a
i
) = [1/(2πσ)
1/2
]⋅exp [-(a
i
-a)
2
/2σ
2
]
(9.8)
где σ
2
- дисперсия распределения (постоянная величина).
Для данной кривой характерны:
1) максимальная частота появления нулевой случайной ошибки;
2) симметрия относительно максимума, т.е. равная вероятность
появления отрицательных и положительных ошибок;
3) экспоненциальное уменьшение вероятности появления ошиб-
ки с ее ростом.
Многочисленные экспериментальные наблюдения показали,
что распределение случайных ошибок химического анализа ближе все-
го подходит к кривой распределения Гаусса. Экспериментальные на-
блюдения подтверждают предположение о том, что случайную ошибку
аналитического измерения можно представить в виде скопления боль-
шого числа небольших независимых и неконтролируемых погрешно-
стей. Также важно, что распределение большинства аналитических
n→∞ i=1
менить к двум-пяти параллельным анализам, которые в состоянии вы-
полнить аналитик, заключения о возможной случайной ошибке могут так как в серии из большого числа измерений всякой положительной
быть ошибочными и слишком оптимистичными. В таких случаях погрешности можно сопоставить равную ей по абсолютной величине
требуется модификация методов. отрицательную погрешность.
Из (9.4) следует, что
IX.1.6.1. Оценка случайной погрешности прямых измерений а = аср при n → ∞, ( 9.6 )
т.е. при бесконечно большом числе измерений истинное значение из-
Перейдем теперь к рассмотрению основ теории случайных по- меряемой величины равно среднеарифметическому значению аср всех
грешностей, позволяющей оценить величину погрешности для серии результатов произведенных измерений при отсутствии системати-
измерений. ческих ошибок (погрешностей). Однако при ограниченном измерений
В основе теории погрешностей лежат два предположения, под- (n ≠ ∞) среднеарифметическое значение аср будет отличаться от истин-
тверждаемых опытами. ного значения а, т.е. равенство ( 9.6 ) будет не точным, а приближен-
1. При большом числе измерений случайные погрешности оди- ным:
наковой величины, но разного знака, т.е. погрешности как в сторону а ≈ аср (9.7)
уменьшения, так и в сторону увеличения, встречаются одинаково час- и нам нужно оценить величину этого расхождения.
то. Появление того или иного значения аi в процессе измерения яв-
2. Большие (по абсолютной величине) погрешности встречаются ляется случайным событием. Существует некоторая вероятность появ-
реже, чем малые, т.е. вероятность появления погрешности уменьшает- ления этого значения в интервале аi - (1/2)dаi, аi + (1/2)dаi, а следова-
ся с ростом величины погрешности. тельно, и появления соответствующего значения абсолютной погреш-
Предположим, что мы произвели n прямых (непосредственных) ности (ошибки) ∆аi*.
измерений некоторой физической величины, истинное значение кото- За вероятность y(ai)dai появления величины аi в интервале dai
рой (нам неизвестное) обозначим через а. Обозначим через а1, а2, ..., аn принимают относительную частоту появления значений аi в интервале
результаты отдельных измерений, а через (∆аi* = а - аi ) - истинную аб- dai, т.е. отношение числа всех значений аi , попадающих в интервал dai,
солютную погрешность (ошибку) i-того измерения. Тогда результа- к числу всех значений аi (при n → ∞ ).
ты измерений можно представить в виде Эта вероятность, как показывается в теории вероятностей, опре-
а1 = а - ∆а1*, деляется законом нормального распределения Гаусса (рис.9.2а):
а2 = а - ∆а2*, ( 9.1 ) y(ai) = [1/(2πσ)1/2 ]⋅exp [-(ai-a)2/2σ2 ] (9.8)
........... 2
где σ - дисперсия распределения (постоянная величина).
аn = а - ∆аn*, Для данной кривой характерны:
Естественно, что абсолютные погрешности ∆а1*, ∆а2*, ..., ∆аn* 1) максимальная частота появления нулевой случайной ошибки;
могут принимать как положительные, так и отрицательные значения. 2) симметрия относительно максимума, т.е. равная вероятность
Суммируя левую и почленно правую части равенств (9.1), полу- появления отрицательных и положительных ошибок;
чаем: 3) экспоненциальное уменьшение вероятности появления ошиб-
Σаi = na - Σ∆аi* ( 9.2 ) ки с ее ростом.
Если ввести среднеарифметическую величину Многочисленные экспериментальные наблюдения показали,
аср = (1/n)⋅Σаi , ( 9.3 ) что распределение случайных ошибок химического анализа ближе все-
то, разделив обе части равенства (9.2) на число измерений n, получаем го подходит к кривой распределения Гаусса. Экспериментальные на-
после перестановки членов: блюдения подтверждают предположение о том, что случайную ошибку
а = аср = (1/n)⋅ Σ∆аi* . ( 9.4 ) аналитического измерения можно представить в виде скопления боль-
Если число n измерений достаточно велико (т.е. n → ∞), то шого числа небольших независимых и неконтролируемых погрешно-
lim (1/n)⋅ Σ∆аi* = 0 , ( 9.5 ) стей. Также важно, что распределение большинства аналитических
453 454
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 225
- 226
- 227
- 228
- 229
- …
- следующая ›
- последняя »
