ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
455
данных по гауссовой кривой позволяет применить методы статистики
для оценки пределов случайной ошибки по воспроизводимости.
Рис.9.2 а - Кривые y(a
i
) = [1/(2
πσ
)
1/2
]
⋅
exp [-(a
i
-a)
2
/2
σ
2
] для разных значений
σ
.
По оси абсцисс отложены единицы подходящим образом выбранного мас-
штаба. Значения
σ
- в тех же единицах.
б - Кривые y(
∆
a
i
*
) = [1/(2
πσ
)
1/2
]
⋅
exp [-(
∆
a
i
*
)
2
/2
σ
2
] для тех же значений
σ
Данное распределение впервые было получено французским ма-
тематиком А.М. Муавром в 1733 г., затем немецким оптико-
математиком И.Г. Ламбертом в 1765 г. и детально изучено француз-
ским математиком П.С. Лапласом в 1795г. и немецким математиком
К.Ф. Гауссом в 1821 г.
Аналогичным образом можно записать распределение истинных
погрешностей
∆
a
i
*
(Рис.9.2,б).
y(∆a
i
*
) = [1/(2πσ)
1/2
]⋅exp [-(∆a
i
*
)
2
/2σ
2
] =
= [1/(2πσ)
1/2
]⋅exp [-(∆a
i
*
-0)
2
/2σ
2
]. (9.9)
Индекс i, оставленный у
∆
a
i
*
, означает, что речь идет о распре-
делении вероятностей появления погрешности отдельного измере-
ния.
Функция y(a
i
) или y(
∆
a
i
*
) называется плотностью распределе-
ния вероятностей [в какой-то мере понятие плотности вероятности
можно сопоставить с понятием плотности массы: как по распределе-
нию плотности массы можно определить полную массу тела, так и по
распределению плотности вероятности можно найти полную вероят-
ность].
456
Нормальное распределение, как отмечалось ранее, характеризу-
ется двумя параметрами: 1) генеральным средним значением случай-
ной величины и 2) дисперсией (или дисперсией генеральной совокуп-
ности).
Генеральное среднее значение представляет собой то значение,
относительно которого происходит разброс случайных величин. Дру-
гими словами, генеральное среднее значение определяется абсциссой
оси симметрии кривой нормального распределения. Так, например, в
случае распределения отдельных результатов измерений генераль-
ным средним значением будет “истинное” значение а (в уравнении
9.8, рис. 9.2,а). В этом случае распределения истинных абсолютных
погрешностей y(
∆
a
i
*
) это генеральное среднее равно нулю (рис.
9.2,б).
Дисперсия
σ
2
характеризует быстроту уменьшения вероятности
появления погрешности
∆
а
i
с ростом величины этой погрешности.
Под генеральной совокупностью подразумевается все множест-
во возможных значений измерений а
i
или возможных значений по-
грешностей
∆
а
i.
.
На рис. 9.2,а и 9.2,б приведены кривые y = f(a
i
) и y = f(
∆
a
i
*
) для
трех значений σ: σ = 1, σ = 2, σ = 4. Видно, что при малых значениях σ
кривые y = f(a
i
) и y = f(
∆
a
i
*
) идут более круто и имеют большее значе-
ние y
max,
чем при больших значениях σ. При этом площадь под кривы-
ми y = f(a
i
) и y = f(
∆
a
i
*
) с различными значениями σ одинаковы. Кри-
вые y = f(a
i
) и y = f(
∆
a
i
*
) симметрично расположены относительно ор-
динаты, на которой
y = y
max
= [1/(2πσ)
1/2
], ∆a
i
*
= 0, a = a
ср
.
Распределение (9.9) получается при рассмотрении относитель-
ных частот появления абсолютных погрешностей
∆
a
i
*
в бесконечно
узких интервалах:
∆a
i
*
- (1/2)d(∆a
i
*
), ∆a
i
*
+ (1/2)d(∆a
i
*
),
где d(
∆
a
i
*
) - бесконечно малая величина.
Остановимся несколько подробнее на связи между истинным
значением а измеряемой величины и средней величиной а
ср
. На рис.
9.3 приведены положения а и а
ср
, полученного из измеренных значений
а
1
,а
2
и а
3.
Мы видим, что даже при фиксированных значениях а
1
и а
2
раз-
личные а
3
приводят к различному положению а
ср
относительно а.
Так как вероятность появления разных значений а
3
= а -
∆
а
3
*
различна [
∆
а
3
*
подчиняется нормальному закону (9.9)], то и вероят-
данных по гауссовой кривой позволяет применить методы статистики Нормальное распределение, как отмечалось ранее, характеризу-
для оценки пределов случайной ошибки по воспроизводимости. ется двумя параметрами: 1) генеральным средним значением случай-
ной величины и 2) дисперсией (или дисперсией генеральной совокуп-
ности).
Генеральное среднее значение представляет собой то значение,
относительно которого происходит разброс случайных величин. Дру-
гими словами, генеральное среднее значение определяется абсциссой
оси симметрии кривой нормального распределения. Так, например, в
случае распределения отдельных результатов измерений генераль-
ным средним значением будет “истинное” значение а (в уравнении
9.8, рис. 9.2,а). В этом случае распределения истинных абсолютных
погрешностей y(∆ai*) это генеральное среднее равно нулю (рис.
9.2,б).
Дисперсияσ2 характеризует быстроту уменьшения вероятности
появления погрешности ∆аi с ростом величины этой погрешности.
Под генеральной совокупностью подразумевается все множест-
во возможных значений измерений аi или возможных значений по-
Рис.9.2 а - Кривые y(ai) = [1/(2πσ)1/2 ] ⋅exp [-(ai-a)2/2σ2] для разных значений σ. грешностей ∆аi..
По оси абсцисс отложены единицы подходящим образом выбранного мас- На рис. 9.2,а и 9.2,б приведены кривые y = f(ai) и y = f(∆ai*) для
штаба. Значения σ - в тех же единицах. трех значений σ: σ = 1, σ = 2, σ = 4. Видно, что при малых значениях σ
б - Кривые y(∆ai*) = [1/(2πσ)1/2 ]⋅exp [-(∆ai*)2/2σ2] для тех же значений σ кривые y = f(ai) и y = f(∆ai*) идут более круто и имеют большее значе-
ние ymax, чем при больших значениях σ. При этом площадь под кривы-
Данное распределение впервые было получено французским ма- ми y = f(ai) и y = f(∆ai*) с различными значениями σ одинаковы. Кри-
тематиком А.М. Муавром в 1733 г., затем немецким оптико-
вые y = f(ai) и y = f(∆ai*) симметрично расположены относительно ор-
математиком И.Г. Ламбертом в 1765 г. и детально изучено француз-
динаты, на которой
ским математиком П.С. Лапласом в 1795г. и немецким математиком
y = ymax = [1/(2πσ)1/2 ], ∆ai* = 0, a = aср .
К.Ф. Гауссом в 1821 г.
Распределение (9.9) получается при рассмотрении относитель-
Аналогичным образом можно записать распределение истинных
ных частот появления абсолютных погрешностей ∆ai* в бесконечно
погрешностей ∆ai* (Рис.9.2,б).
узких интервалах:
∆ai* - (1/2)d(∆ai*), ∆ai* + (1/2)d(∆ai*),
y(∆ai*) = [1/(2πσ)1/2 ]⋅exp [-(∆ai*)2/2σ2] =
где d(∆ai ) - бесконечно малая величина.
*
= [1/(2πσ)1/2 ]⋅exp [-(∆ai*-0)2/2σ2]. (9.9)
Остановимся несколько подробнее на связи между истинным
Индекс i, оставленный у ∆ai*, означает, что речь идет о распре-
значением а измеряемой величины и средней величиной аср. На рис.
делении вероятностей появления погрешности отдельного измере-
9.3 приведены положения а и аср, полученного из измеренных значений
ния.
а1,а2 и а3.
Функция y(ai) или y(∆ai*) называется плотностью распределе- Мы видим, что даже при фиксированных значениях а1 и а2 раз-
ния вероятностей [в какой-то мере понятие плотности вероятности личные а3 приводят к различному положению аср относительно а.
можно сопоставить с понятием плотности массы: как по распределе-
Так как вероятность появления разных значений а3 = а - ∆а3*
нию плотности массы можно определить полную массу тела, так и по
различна [∆а3* подчиняется нормальному закону (9.9)], то и вероят-
распределению плотности вероятности можно найти полную вероят-
ность].
455 456
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 226
- 227
- 228
- 229
- 230
- …
- следующая ›
- последняя »
