Химические методы анализа - 235 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВСГУТУ | Улан-Удэ

Составители: 

Рубрика: 

469
∆z
z(ср)
= {[f(a) - f(a
ср
)]
2
}
1/2
= f(a) - f(a
ср
)
воспользоваться связью дифференциала функции df с бесконечно ма-
лым изменением аргумента
df(a) = (df/da)⋅da.
Абсолютная погрешность результата косвенных измерений в
этом случае равна
∆z
z(ср)
= df(a )= f(a
ср
+ ∆а) - f(a
ср
)= (df/da)⋅(a
ср
)∆a , (9.23)
где
∆
а определяется соотношениями (9.21) и (9.22).
Относительная погрешность равна:
ε
z
= f
′
(a
ср
)/ f(a
ср
)⋅∆a⋅100%
или, полагая,
∆
a
≈
da и
∆
z
≈
dz,
ε
z
= df(a)/f(a) = d(ln a),
где знак d после дифференцирования следует заменить на знак
∆
.
Рассмотрим теперь случай, когда искомая величина является
функцией двух переменных а и b, значения которых определяются
непосредственно из серий k и m измерений соответственно:
z = f(а, b).
Остановимся сначала на простейшем случае:
z = а + b,
причем величина а определяется из серии k измерений a
i
(i = 1, 2, ...,
k), а величина b
−
из серии m измерений b
j
(j = 1, 2, ..., m).
Истинные значения а и b связаны со средними значениями а
ср
и
b
ср
, соотношениями
а = а
ср +
∆а
*
, b = b
ср
+ ∆b
*
.
Если обозначить среднее значение функции через z
ср
= a
ср
+ b
ср
,
то средний квадрат отклонения z от z
ср
равен
_______ ____________ __________
∆z
2
= (z - z
ср
)
2
= (a - a
ср
+ b - b
ср
)
2
= (∆a* + ∆b*)
2
=
___ _______ ____
= ∆a*
2
+ 2∆a*⋅∆b* + ∆b*
2
= ∆a
2
+ ∆b
2
.
Здесь черта сверху означает усреднение по распределению соот-
ветствующих случайных величин. В данном уравнении член 2
∆
a*
⋅∆
b*
равен нулю в силу симметрии кривых распределения величин
∆
a* и
∆
b*.
Аналогично, если
z = Q⋅a + R⋅b,
где Q и R - постоянные, получаем
∆z
2
= Q
2
⋅∆a
2
+ R
2
⋅∆b
2
.
470
В самом общем случае, когда
z = f(a,b)
можно показать, что
∆z
2
= (∂f/∂a)
2
⋅∆a
2
+ (∂f/∂b)
2
⋅∆b
2
и, следовательно,
∆z = [(∂f/∂a)
2
⋅∆a
2
+ (∂f/∂b)
2
⋅∆b
2
]
1/2
. (9.24)
Здесь
∂
f/
∂
a и
∂
f/
∂
b - частные производные функции f(а, b) по
переменным а и b соответственно. Частная производная функции
многих переменных f по одной переменной, например а, является
обычной производной функции f по а, причем другая переменная b
считается постоянным параметром. Все производные в выражении
(9.24) вычисляются при значениях а = а
ср
и b = b
ср
.
Универсального способа оценки границ доверительного интер-
вала при заданной надежности для результата косвенных измерений до
сих пор не существует. Более того, даже для оценки границ довери-
тельного интервала разности двух величин в литературе имеются про-
тиворечивые рекомендации. Поэтому предлагается простой, хотя и
недостаточно строгий способ оценки
α
при косвенных измерениях.
Если n
<
20 и m
<
20, то погрешности
∆
а и
∆
b определяются с
помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения
надежности
α
.
Относительная погрешность равна
ε
z
= ∆z/z ,
где
∆
z определяется соотношением (9.24).
Аналогично для
z = f(a, b, c ...)
получим
∆z = [(∂f/∂a)
2
⋅∆a
2
+ (∂f/∂b)
2
⋅∆b
2
+ (∂f/∂c)
2
⋅∆c
2
+ . . . ]
1/2
.
Относительная погрешность равна также
ε
z
= ∆z/z
ср
и так как
(1/f)⋅(∂f/∂a) = (∂/∂a)lnf ;
(1/f)⋅(∂f/∂b) = (∂/∂b)lnf ;
(1/f)⋅(∂f/∂c) = (∂/∂c)lnf, . . .,
то
ε
z
2
= (∆z/z
ср
)
2
= [(∂/∂a)lnf]
2
⋅∆a
2
+[(∂/∂b)lnf]
2
⋅∆b
2
+[(∂/∂c)lnf]
2
⋅∆c
2
+...
В частности, если
z = f(a, b, c, ...) = a
β
⋅b
γ
⋅c
δ
,
где
β
,
γ
,
δ
, ... могут принимать как положительные, так и отрицатель-
ные значения, то 
                   ∆zz(ср) = {[f(a) - f(aср)]2}1/2 = f(a) - f(aср)                    В самом общем случае, когда
воспользоваться связью дифференциала функции df с бесконечно ма-                                                   z = f(a,b)
лым изменением аргумента                                                      можно показать, что
                                df(a) = (df/da)⋅da.                                                   ∆z2 = (∂f/∂a)2⋅∆a2 + (∂f/∂b)2⋅∆b2
        Абсолютная погрешность результата косвенных измерений в               и, следовательно,
этом случае равна                                                                                  ∆z = [(∂f/∂a)2⋅∆a2 + (∂f/∂b)2⋅∆b2]1/2 .               (9.24)
            ∆zz(ср)= df(a )= f(aср+ ∆а) - f(aср )= (df/da)⋅(aср)∆a , (9.23)           Здесь ∂f/∂a и ∂f/∂b - частные производные функции f(а, b) по
где ∆а определяется соотношениями (9.21) и (9.22).                            переменным а и b соответственно. Частная производная функции
        Относительная погрешность равна:                                      многих переменных f по одной переменной, например а, является
                           εz = f′(aср)/ f(aср)⋅∆a⋅100%                       обычной производной функции f по а, причем другая переменная b
или, полагая, ∆a ≈ da и ∆z ≈ dz,                                              считается постоянным параметром. Все производные в выражении
                            εz = df(a)/f(a) = d(ln a),                        (9.24) вычисляются при значениях а = аср и b = bср.
где знак d после дифференцирования следует заменить на знак ∆.                       Универсального способа оценки границ доверительного интер-
        Рассмотрим теперь случай, когда искомая величина является             вала при заданной надежности для результата косвенных измерений до
функцией двух переменных а и b, значения которых определяются                 сих пор не существует. Более того, даже для оценки границ довери-
непосредственно из серий k и m измерений соответственно:                      тельного интервала разности двух величин в литературе имеются про-
                                    z = f(а, b).                              тиворечивые рекомендации. Поэтому предлагается простой, хотя и
        Остановимся сначала на простейшем случае:                             недостаточно строгий способ оценки α при косвенных измерениях.
                                      z = а + b,                                      Если n < 20 и m < 20, то погрешности ∆а и ∆b определяются с
причем величина а определяется из серии k измерений ai (i = 1, 2, ...,        помощью коэффициентов Стьюдента для одного и того же значения
k), а величина b − из серии m измерений bj (j = 1, 2, ..., m).                надежности α.
        Истинные значения а и b связаны со средними значениями аср и                  Относительная погрешность равна
bср, соотношениями                                                                                                εz = ∆z/z ,
                         а = аср + ∆а*, b = bср + ∆b* .                       где ∆z определяется соотношением (9.24).
        Если обозначить среднее значение функции через zср= aср + bср,                Аналогично для
то средний квадрат отклонения z от zср равен                                                                    z = f(a, b, c ...)
                                                                              получим
                                                                                         ∆z = [(∂f/∂a)2⋅∆a2 + (∂f/∂b)2⋅∆b2 + (∂f/∂c)2⋅∆c2 + . . . ]1/2 .
                 _______ ____________                  __________                     Относительная погрешность равна также
            ∆z2 = (z - zср)2 = (a - aср + b - bср)2 = (∆a* + ∆b*)2 =                                               εz = ∆z/zср
                   ___        _______ ____                                    и так как
                  = ∆a*2 + 2∆a*⋅∆b* + ∆b*2 = ∆a2 + ∆b2 .                                                  (1/f)⋅(∂f/∂a) = (∂/∂a)lnf ;
      Здесь черта сверху означает усреднение по распределению соот-                                       (1/f)⋅(∂f/∂b) = (∂/∂b)lnf ;
ветствующих случайных величин. В данном уравнении член 2∆a*⋅∆b*                                         (1/f)⋅(∂f/∂c) = (∂/∂c)lnf, . . .,
равен нулю в силу симметрии кривых распределения величин ∆a* и                то
∆b*.                                                                              εz2 = (∆z/zср)2 = [(∂/∂a)lnf]2⋅∆a2+[(∂/∂b)lnf]2⋅∆b2+[(∂/∂c)lnf]2⋅∆c2+...
      Аналогично, если                                                                В частности, если
                                 z = Q⋅a + R⋅b,                                                          z = f(a, b, c, ...) = aβ⋅bγ⋅cδ,
где Q и R - постоянные, получаем                                              где β, γ, δ, ... могут принимать как положительные, так и отрицатель-
                            ∆z2 = Q2⋅∆a2 + R2⋅∆b2 .                           ные значения, то


                                   469                                                                              470

Страницы