ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
471
lnf = β⋅lna + γ⋅lnb + δ⋅lnc,
(∂/∂a)lnf = β/a, (∂/∂b)lnf = γ/b, (∂/∂c)lnf = δ/c,
ε
z
2
= β
2
⋅∆a
2
/a
ср
2
+ γ
2
⋅∆b
2
/b
ср
2
+ δ
2
⋅∆c
2
/c
ср
2
= β
2
⋅ε
a
2
+ γ
2
⋅ε
b
2
+ δ
2
⋅ε
c
2
,
т.е.
ε
z
= (β
2
⋅ε
a
2
+ γ
2
⋅ε
b
2
+ δ
2
⋅ε
c
2
)
1/2
.
Рассмотрим несколько частных случаев.
а) Погрешность суммы двух величин:
z = a + b ;
∆z = (∆a
2
+ ∆b
2
)
1/2
;
ε
z
= (∆a
2
+ ∆b
2
)
1/2
/(a
ср
+ b
cр
).
б) Погрешность разности двух величин:
z = a – b ;
∆z = (∆a
2
+ ∆b
2
)
1/2
;
ε
z
= (∆a
2
+ ∆b
2
)
1/2
/(a
ср
- b
cр
).
Видно, что при одной и той же величине абсолютной погрешно-
сти
∆
z , т.е. при одной и той же величине
∆
a и
∆
b, относительная по-
грешность разности может быть значительно больше относительной
погрешности суммы при близких значениях а
ср
и b
ср
.
в) Погрешность произведения двух величин:
z = a⋅b ;
∆z = (b
ср
2
⋅∆a
2
+ a
ср
2
⋅∆b
2
)
1/2
;
ε
z
= (ε
a
2
+ ε
b
2
)
1/2
;
г) Погрешность отношения двух величин:
z = a/b ;
∆z = [(1/b
ср
2
)⋅∆a
2
+ (a
ср
2
/b
4
)⋅∆b
2
]
1/2
;
ε
z
= (ε
a
2
+ ε
b
2
)
1/2
.
Следует отметить, что если косвенные измерения проводятся в
невоспроизводимых условиях, то значения функции вычисляются для
каждого отдельного измерения, а границы доверительного интервала
определяют в результате обработки вычисленных результатов косвен-
ных измерений, т.е. самих функций, так же как это выполняется для
прямых измерений.
Пример. При определении коэффициента вязкости жидкости
путем изучения движения твердых шариков разного диаметра в этой
жидкости получены результаты, представленные в табл. 9.9.
Поскольку величины, представленные ниже таблицы, известны с
достаточно большой точностью, то можно пренебречь погрешностями
измерений этих величин, а также приборными погрешностями при из-
мерении радиуса шарика и времени. Все величины взяты с тремя зна-
чащими цифрами.
472
Таблица 9.9
№
r
ш
⋅10
4
, м
t, сек №
r
ш
⋅10
4
, м
t, сек
1 2.92 27.0 5 2.47 37.5
2 2.81 29.0 6 3.37 20.2
3 3.04 24.8 7 3.26 22.9
4 3.37 20.1 - - -
ρ
ж
= 1.24 г/см
3
= 1.24
⋅
10
3
кг/м
3
;
ρ
ш
= 9.70 г/см
3
= 9.70
⋅
10
3
кг/м
3
; g = 981
см/сек
2
= 9.81 м/сек
2
; l =7.80 см =7.80
⋅
10
-2
м; R = 1.45 см = 1.45⋅10
-2
м. Здесь
r
ш
- радиус твердого шарика, t - время прохождения шариком расстояния l
с установившейся скоростью v,
ρ
ж
- плотность жидкости,
ρ
ш
- плотность
твердого шарика, g - ускорение
Значения коэффициента вязкости вычисляются на основании за-
кона Стокса по формуле
η = (2/9)⋅g⋅r
m
2
⋅ (ρ
ш
- ρ
ж
)/v⋅(1 + 2.4⋅r/R),
учитывающей поправку на влияние конечного диаметра сосуда с жид-
костью.
Таблица 9.10
№
r
ш
2
⋅10
4
м
2
v⋅10
3
,
м/сек
r
ш
2
/v⋅10
5
,
м/сек
1+2.4
⋅
r/R (r
2
/v)
⋅
⋅
(1+2.4
⋅
r/R)
-1
⋅
10
5
1. 8.53 2.89 2.95 1.05 2.81
2. 7.90 2.69 2.94 1.05 2.80
3. 9.24 3.14 2.94 1.05 2.80
4. 11.4 3.88 2.94 1.05 2.79
5. 6.10 2.08 2.93 1.04 2.82
6. 11.4 3.86 2.94 1.05 2.79
7. 10.6 3.41 3.11 1.05 2.96
Вычислим сначала постоянный множитель
(2/9)⋅g⋅(ρ
ш
-ρ
ж
) = (2/9)⋅9.81⋅8.46⋅10
3
м/сек
2
⋅
кг/м
3
= 1.844⋅10
4
н/м
3
,
а затем вычислим переменные величины (табл. 9.10)
Рассматривая полученные значения коэффициента динамиче-
ской вязкости, видим, что значение седьмого измерения резко выделя-
ется по сравнению с остальными. Поэтому прежде всего следует выяс-
нить, не является ли это измерение промахом (грубой ошибкой).
Для этой цели представим табл. 9.11 отклонений и квадратов от-
клонений
η
i
от произвольно выбранного значения
η
0
= 0.520 н
⋅
сек/м
2
.
Среднее значение
η
ср
, полученное в результате всей серии из се-
ми измерений, равно:
η
ср
= η
0
+ (1/n)⋅Σ(η
i
- η
0
) = 0.520 + 4⋅10
-3
/7 = 0.5206 н
⋅
сек/м
2
,
причем
lnf = β⋅lna + γ⋅lnb + δ⋅lnc, Таблица 9.9
(∂/∂a)lnf = β/a, (∂/∂b)lnf = γ/b, (∂/∂c)lnf = δ/c, № rш⋅104, м t, сек № rш⋅104, м t, сек
εz2 = β2⋅∆a2/aср2 + γ2⋅∆b2/bср2 + δ2⋅∆c2/cср2 = β2⋅εa2 + γ2⋅εb2 + δ2⋅εc2, 1 2.92 27.0 5 2.47 37.5
т.е. 2 2.81 29.0 6 3.37 20.2
εz = (β2⋅εa2 + γ2⋅εb2 + δ2⋅εc2)1/2 . 3 3.04 24.8 7 3.26 22.9
Рассмотрим несколько частных случаев. 4 3.37 20.1 - - -
а) Погрешность суммы двух величин: ρж = 1.24 г/см3 = 1.24⋅103 кг/м3; ρш = 9.70 г/см3 = 9.70⋅103 кг/м3; g = 981
z=a+b; см/сек2 = 9.81 м/сек2; l =7.80 см =7.80⋅10-2м; R = 1.45 см = 1.45⋅10-2м. Здесь
∆z = (∆a2 + ∆b2)1/2 ; rш - радиус твердого шарика, t - время прохождения шариком расстояния l
εz = (∆a2 + ∆b2)1/2/(aср + bcр). с установившейся скоростью v, ρж - плотность жидкости, ρш - плотность
б) Погрешность разности двух величин: твердого шарика, g - ускорение
z=a–b; Значения коэффициента вязкости вычисляются на основании за-
∆z = (∆a2 + ∆b2)1/2 ; кона Стокса по формуле
εz = (∆a2 + ∆b2)1/2/(aср - bcр). η = (2/9)⋅g⋅rm2⋅ (ρш - ρж)/v⋅(1 + 2.4⋅r/R),
Видно, что при одной и той же величине абсолютной погрешно- учитывающей поправку на влияние конечного диаметра сосуда с жид-
сти ∆z , т.е. при одной и той же величине ∆a и ∆b, относительная по- костью.
грешность разности может быть значительно больше относительной Таблица 9.10
погрешности суммы при близких значениях аср и bср. № 2
rш ⋅10 4 3
v⋅10 , 2
rш /v⋅10 ,5
1+2.4⋅r/R (r2/v)⋅
2
в) Погрешность произведения двух величин: м м/сек м/сек ⋅(1+2.4⋅r/R)-1 ⋅105
z = a⋅b ; 1. 8.53 2.89 2.95 1.05 2.81
∆z = (bср2⋅∆a2 + aср2⋅∆b2)1/2 ; 2. 7.90 2.69 2.94 1.05 2.80
εz = (εa2 + εb2)1/2 ; 3. 9.24 3.14 2.94 1.05 2.80
г) Погрешность отношения двух величин: 4. 11.4 3.88 2.94 1.05 2.79
z = a/b ; 5. 6.10 2.08 2.93 1.04 2.82
∆z = [(1/bср2)⋅∆a2 + (aср2/b4)⋅∆b2]1/2 ; 6. 11.4 3.86 2.94 1.05 2.79
εz = (εa2 + εb2)1/2 . 7. 10.6 3.41 3.11 1.05 2.96
Следует отметить, что если косвенные измерения проводятся в
невоспроизводимых условиях, то значения функции вычисляются для Вычислим сначала постоянный множитель
каждого отдельного измерения, а границы доверительного интервала (2/9)⋅g⋅(ρш-ρж) = (2/9)⋅9.81⋅8.46⋅103 м/сек2⋅кг/м3 = 1.844⋅104 н/м3,
определяют в результате обработки вычисленных результатов косвен- а затем вычислим переменные величины (табл. 9.10)
ных измерений, т.е. самих функций, так же как это выполняется для Рассматривая полученные значения коэффициента динамиче-
прямых измерений. ской вязкости, видим, что значение седьмого измерения резко выделя-
Пример. При определении коэффициента вязкости жидкости ется по сравнению с остальными. Поэтому прежде всего следует выяс-
путем изучения движения твердых шариков разного диаметра в этой нить, не является ли это измерение промахом (грубой ошибкой).
жидкости получены результаты, представленные в табл. 9.9. Для этой цели представим табл. 9.11 отклонений и квадратов от-
Поскольку величины, представленные ниже таблицы, известны с клонений ηi от произвольно выбранного значения η0 = 0.520 н⋅сек/м2.
достаточно большой точностью, то можно пренебречь погрешностями Среднее значение ηср, полученное в результате всей серии из се-
измерений этих величин, а также приборными погрешностями при из- ми измерений, равно:
мерении радиуса шарика и времени. Все величины взяты с тремя зна- ηср = η0 + (1/n)⋅Σ(ηi - η0) = 0.520 + 4⋅10-3/7 = 0.5206 н⋅сек/м2,
чащими цифрами. причем
471 472
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 234
- 235
- 236
- 237
- 238
- …
- следующая ›
- последняя »
