Основы теории вероятностей с элементами математической статистики. Тапилин А.М. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

11
случаев, не вписывающихся в указанные выше ограничения. Однако, в
ней наиболее просто определяются основные понятия теории
вероятностей. Многие определения и теоремы с незначительными по
существу изменениями можно использовать и в общем случае. Наиболее
серьезное изменение связано с тем, что случайные события
рассматриваются как объединения не конечного, а бесконечного числа
исходов, вероятность каждого из которых может быть равной нулю.
Поэтому свойство, выраженное в элементарной теории теоремой
сложения вероятностей, не выводится из классического определения
вероятности (пункт 1.3.1), а само включается в определение (последняя
аксиома пункта 1.1.1.).
1.2. Условная вероятность и произведение событий
1.2.1. Вероятность появления события В при условии, что событие А
уже наступило, называют условной вероятностью P
A
(B). По
определению, оно равно отношению вероятности Р(АВ) совместного
наступления событий А и В (произведения событий) к вероятности
события А:
P
A
(B) =Р(АВ)/Р(А).
(1.2)
Отсюда вытекает теорема умножения вероятностей: вероятность
совместного наступления событий равна произведению вероятности
одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в
предположении, что первое событие уже наступило:
Р(АВ) = Р(А) P
A
(B).
(1.3)
Аналогично,
Р(ВА) = Р(В) P
В
(А),
т.е.
Р(А) P
A
(B) = Р(В) P
В
(А).
(1.4)
Задание. Пусть r – число исходов, благоприятствующих событию В при
условии, что событие А уже наступило, к – число исходов,
благоприятствующих событию А, n – общее число всех возможных
элементарных исходов испытания. Учитывая, что Р(В/А) = r/к, получить
формулу (1.2).
Пример. В урне 3 белых и 7 черных шаров. Вероятность достать сначала
белый шар Р(А) =3/10, затем черный – P
A
(B) = 7/9, а вероятность достать
сначала белый, затем черный шары Р(АВ) =3/10·7/9 = 7/30. Аналогичный
результат получится, если использовать формулу (1.2): событию (АВ)
благоприятствует 21 исход (3·7) из 90 размещений (
2
10
А
=10·9=90) –
общего числа возможных исходов. Следовательно, P
A
(B) = (21/90)/(3/10)

Страницы