Основы теории вероятностей с элементами математической статистики. Тапилин А.М. - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТвГУ | Тверь

Составители: 

Рубрика: 

44
n
lim P (X
1
+X
2
+…+X
n
)/n-(M(X
1
)+M(X
2
)+…+M(X
n
))/n < ] =1,
т.е. при стремлении числа случайных величин к бесконечности предел
вероятности того, что модуль отклонения среднего арифметического
случайных величин от среднего арифметического их математических
ожиданий окажется меньше сколь угодно малого положительного числа,
равен единице.
Задание. Подтвердить: если все случайные величины имеют одно и то
же математическое ожидание а, то
n
lim P (X
1
+X
2
+…+X
n
) / n - а < ] = 1.
(4.1)
При указанных условиях среднее арифметическое достаточно большого
числа результатов повторных измерений (независимых случайных
величин) сколь угодно мало отличается от истинного значения измеряемой
величины. Такие условия соблюдаются, если результат каждого измерения
не зависит от результатов остальных измерений, если нет систематических
ошибок измерений, если обеспечивается определенная точность
измерений.
4.1.2. По теореме Бернулли, если в каждом из n независимых испытаний
вероятность появления события одинакова, то
n
lim P m / n - p < ] = 1,
(4.1а)
т.е. при стремлении числа испытаний к бесконечности предел вероятности
того, что модуль отклонения относительной частоты от постоянной
вероятности события окажется меньше сколь угодно малого
положительного числа, равен единице.
Нельзя утверждать, что с ростом числа испытаний относительная
частота неуклонно стремится к вероятности. Можно говорить лишь о
вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний
относительная частота будет сколь угодно мало отличаться от постоянной
вероятности появления события в каждом испытании. Поэтому в отличие
от сходимости в смысле обычного анализа вводят понятие сходимости по
вероятности. Теорема Бернулли утверждает, что при n → ∞ относительная
частота события стремится по вероятности к вероятности этоготсобытия.
Задание. Перейти от формулы (4.1) к формуле (4.1а), учитывая, что
случайные величины Х
i
(i = 1, 2,…, n) – число появлений события в i–м
испытании попарно независимы, их дисперсии ограничены (pq 0,25),
математическое ожидание числа появлений события в одном испытании
M(X
i
) = a = p, т.е. равно вероятности наступления события.

Страницы