Теория функций комплексного переменного. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

10 §2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
Â) ÅÓÌÉ A 6= 0, ÔÏ lim
n→∞
Arg z
n
= Arg A, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÐÏÎÉÍÁÔØ ÔÁË:
ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Arg z
n
, ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ÐÒÅÄÅÌ, ÒÁ×-
ÎÙÊ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Arg A;
3) lim
n→∞
z
n
= A 6= ∞, lim
n→∞
ξ
n
= B 6= ∞
Á) lim
n→∞
z
n
+ ξ
n
= A + B,
Â) lim
n→∞
z
n
ξ
n
= AB;
4) ÐÕÓÔØ lim
n→∞
z
n
= A 6= ∞, lim
n→∞
ξ
n
= B 6= 0, ÔÏÇÄÁ lim
n→∞
z
n
ξ
n
=
A
B
.
ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ z
n
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÈÏÄÑÝÅÊÓÑ Ë ∞, ÐÉÛÕÔ
lim
n→∞
z
n
= ∞,
ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ N(M) > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n >
N(M) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |z
n
| > M.
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
1) lim
n→∞
z
n
= ∞ ⇐⇒ lim
n→∞
|z
n
| = +∞.
2) lim
n→∞
z
n
= ∞ ⇐⇒ lim
n→∞
1
z
n
= 0.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ lim
n→∞
(
n
√
z − 1)n , ÅÓÌÉ
n
√
z =
n
√
r
cos
ϕ + 2πk
n
+ i sin
ϕ + 2πk
n
,
ÇÄÅ k ÃÅÌÏÅ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.
10                      §2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

         Â) ÅÓÌÉ A 6= 0, ÔÏ lim Arg zn = Arg A, ÞÔÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÐÏÎÉÍÁÔØ ÔÁË:
                            n→∞
            ÍÏÖÎÏ ×ÙÂÒÁÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ Arg zn , ËÏÔÏÒÙÅ ÂÕÄÕÔ ÉÍÅÔØ ÐÒÅÄÅÌ, ÒÁ×-
            ÎÙÊ ÏÄÎÏÍÕ ÉÚ ÚÎÁÞÅÎÉÊ Arg A;
      3) lim zn = A 6= ∞, lim ξn = B 6= ∞
        n→∞               n→∞
        Á) lim zn + ξn = A + B,
           n→∞
        Â) lim zn ξn = AB;
           n→∞
                                                            zn  A
      4) ÐÕÓÔØ lim zn = A 6= ∞, lim ξn = B 6= 0, ÔÏÇÄÁ lim     = .
              n→∞                 n→∞                   n→∞ ξn  B

     ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔØ zn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÈÏÄÑÝÅÊÓÑ Ë ∞, ÐÉÛÕÔ




                                  lim zn = ∞,
                                  n→∞




ÅÓÌÉ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ > 0 ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ N (M ) > 0 ÔÁËÏÅ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÇÏ n >
N (M ) ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï |zn | > M .
   óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:

      1) lim zn = ∞ ⇐⇒ lim |zn | = +∞.
         n→∞           n→∞
                            1
      2) lim zn = ∞ ⇐⇒ lim      = 0.
         n→∞           n→∞ zn

                          √
     ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ lim ( n z − 1)n , ÅÓÌÉ
                        n→∞




                    √     √
                                                         
                    n
                                  ϕ + 2πk         ϕ + 2πk
                      z = n r cos         + i sin           ,
                                     n               n




     ÇÄÅ k ÃÅÌÏÅ ÆÉËÓÉÒÏ×ÁÎÎÏÅ ÞÉÓÌÏ.

Страницы