Теория функций комплексного переменного. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

12 §2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
1. îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ. åÓÌÉ ÒÑÄ
∞
P
n=1
z
n
ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ
lim
n→∞
z
n
= 0.
2. òÑÄ
∞
P
n=1
z
n
, ÇÄÅ z
n
= x
n
+ iy
n
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÒÑÄÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÉÚ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ É
ÍÎÉÍÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ:
∞
X
n=1
x
n
,
∞
X
n=1
y
n
.
ðÒÉÍÅÒ 2. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
P
n=1
1+i
1−i
n
.
òÅÛÅÎÉÅ: äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉ-
ÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ×. äÌÑ ÞÅÇÏ ÐÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ lim
n→∞
z
n
6= 0.
1 + i
1 − i
n
=
1 + i
1 − i
n
.
îÁÊÄÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
1 + i
1 − i
=
(1 + i)
2
2
=
2i
2
= i,
ÐÏÜÔÏÍÕ
1 + i
1 − i
n
= |i|
n
= 1,
ÏÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ
lim
n→∞
1 + i
1 − i
n
= 1 6= 0.
îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ× ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÒÑÄ
∞
X
n=1
1 + i
1 − i
n
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=1
(−1)
n
(1 + i + ni)
n(n + 1)
.
òÅÛÅÎÉÅ: óÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÏÄÎÏ-
×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ× ÉÚ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ É ÍÎÉÍÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ
12                    §2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
                                                                     ∞
                                                                     P
     1. îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ. åÓÌÉ ÒÑÄ                     zn ÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ
                                                                    n=1
lim zn = 0.
n→∞
          P∞
   2. òÑÄ    zn , ÇÄÅ zn = xn + iyn ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
           n=1
ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ ÓÈÏÄÑÔÓÑ ÒÑÄÙ ÓÏÓÔÁ×ÌÅÎÎÙÅ ÏÔÄÅÌØÎÏ ÉÚ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ É
ÍÎÉÍÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ:
                            ∞
                            X               ∞
                                            X
                                  xn ,            yn .
                            n=1             n=1
                                                         ∞
                                                               1+i n
                                                         P         
     ðÒÉÍÅÒ 2. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ                   1−i
                                                                     .
                                                         n=1
  òÅÛÅÎÉÅ: äÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÅÔÓÑ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉ-
ÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ×. äÌÑ ÞÅÇÏ ÐÏËÁÖÅÍ, ÞÔÏ lim zn 6= 0.
                                   n→∞
                               n           n
                            1+i        1+i
                                    =          .
                            1−i        1−i
îÁÊÄÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
                         1 + i (1 + i)2   2i
                              =         =    = i,
                         1−i      2       2
ÐÏÜÔÏÍÕ
                                     n
                             1+i
                                         = |i|n = 1,
                             1−i
ÏÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ
                                 n
                             1+i
                        lim          = 1 6= 0.
                       n→∞ 1 − i

îÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ× ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÒÑÄ
                             ∞      n
                            X    1+i
                            n=1
                                 1−i
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   ðÒÉÍÅÒ 3. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                          ∞
                          X (−1)n(1 + i + ni)
                                                         .
                           n=1
                                     n(n + 1)
   òÅÛÅÎÉÅ: óÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÏÄÎÏ-
×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ× ÉÚ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ É ÍÎÉÍÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ

Страницы