Теория функций комплексного переменного. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ 11
òÅÛÅÎÉÅ: ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÅÄÅÌÙ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ É ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔÅÊ ÞÉÓÌÁ
(
n
√
z − 1)n:
lim
n→∞
Re(
n
√
z − 1)n = lim
n→∞
n
√
r cos
ϕ + 2πk
n
− 1
n =
= lim
n→∞
n
√
r cos
ϕ + 2πk
n
− cos
ϕ + 2πk
n
+ cos
ϕ + 2πk
n
− 1
n =
= lim
n→∞
n
√
r − 1
1
n
cos
ϕ + 2πk
n
−
1 − cos
ϕ+2πk
n
1
n
=
= lim
n→∞
n
√
r − 1
1
n
· lim
n→∞
cos
ϕ + 2πk
n
− lim
n→∞
1 − cos
ϕ+2πk
n
1
n
=
= lim
n→∞
e
ln r
n
− 1
1
n
= ln r.
úÄÅÓØ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ (ÐÒÉ α → 0)
sin α ∼ α, 1 −cos α ∼
α
2
2
, e
α
− 1 ∼ α.
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÐÒÅÄÅÌ ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔÉ
lim
n→∞
Im(
n
√
z − 1)n = lim
n→∞
n
n
√
r sin
ϕ + 2πk
n
= lim
n→∞
sin
ϕ+2πk
n
1
n
= ϕ + 2πk.
éÔÁË,
lim
n→∞
(
n
√
z − 1)n = ln r + i(ϕ + 2πk).
2.2. òÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
âÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ ÒÑÄ
∞
P
n=1
z
n
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ
ÐÒÅÄÅÌ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÅÇÏ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ {S
n
}
S
n
=
n
X
k=1
z
n
, S = lim
n→∞
S
n
.
üÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÒÑÄÁ
∞
X
n=1
z
n
= S.
§2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ                              11

 √  òÅÛÅÎÉÅ: ÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÅÄÅÌÙ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ É ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔÅÊ ÞÉÓÌÁ
( z − 1)n:
 n



          √                    √
                                                 
                                      ϕ  + 2πk
   lim Re( n z − 1)n = lim n r cos             −1 n=
  n→∞                   n→∞               n
                  √
                                                                     
                         ϕ +  2πk        ϕ + 2πk       ϕ  + 2πk
        = lim n r cos              − cos         + cos           −1 n=
          n→∞                n              n              n
                                                              
                         √                               ϕ+2πk
                        nr−1         ϕ + 2πk 1 − cos n 
                = lim            cos          −               =
                  n→∞        1           n             1
                            n                         n
                    √
                    n
                      r−1             ϕ + 2πk        1 − cos ϕ+2πk
                                                                n
            = lim           · lim cos          − lim                   =
               n→∞     1      n→∞         n      n→∞        1
                       n                                    n
                                                                  ln r
                                                                 e n −1
                                                          = lim        1 = ln r.
                                                               n→∞
                                                                     n
úÄÅÓØ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÏÓÔÉ (ÐÒÉ α → 0)
                                          α2 α
                 sin α ∼ α, 1 − cos α ∼ , e − 1 ∼ α.
                                          2
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÔÅÐÅÒØ ÐÒÅÄÅÌ ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔÉ
         √                  √                        sin ϕ+2πk
                                            
         n                   n
                                     ϕ + 2πk               n
  lim Im( z − 1)n = lim n      r sin           = lim     1     = ϕ + 2πk.
 n→∞                 n→∞                n        n→∞
                                                         n
éÔÁË,                        √
                        lim ( n z − 1)n = ln r + i(ϕ + 2πk).
                        n→∞


2.2. òÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
                   ∞
                   P
âÅÓËÏÎÅÞÎÙÊ ÒÑÄ         zn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ
                  n=1
ÐÒÅÄÅÌ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ ÅÇÏ ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÓÕÍÍ {Sn }
                           Xn
                      Sn =     zn ,  S = lim Sn .
                                                n→∞
                                k=1
üÔÏÔ ÐÒÅÄÅÌ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÓÕÍÍÏÊ ÒÑÄÁ
                             X∞
                                 zn = S.
                                      n=1

Страницы