Теория функций комплексного переменного. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ 13
ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ Ä×Á ÒÑÄÁ
∞
X
n=1
(−1)
n
n(n + 1)
É
∞
X
n=1
(−1)
n
n
.
ïÂÁ ÒÑÄÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ É ÐÏÜÔÏÍÕ ÓÈÏÄÑÔÓÑ, Á ÚÎÁÞÉÔ
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
∞
P
n=1
(−1)
n
(1+i+ni)
n(n+1)
.
ðÒÉÍÅÒ 4. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=1
1
n
3/4
+ i
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
1
n
3/4
+ i
=
n
3/4
− i
(n
3/4
+ i)(n
3/4
− i)
=
n
3/4
− i
n
3/2
+ 1
.
óÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÓÈÏ-
ÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ× ÉÚ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ É ÍÎÉÍÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÏÔÄÅÌØÎÏ Ä×Á ÒÑÄÁ
∞
X
n=1
n
3/4
n
3/2
+ 1
É
∞
X
n=1
1
n
3/2
+ 1
.
ôÁË ËÁË
3
2
> 1, ÔÏ ÒÑÄ
∞
X
n=1
1
n
3/2
+ 1
ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÄ
∞
X
n=1
n
3/4
n
3/2
+ 1
É ÓÒÁ×ÎÉÍ ÅÇÏ Ó ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÒÑÄÏÍ
∞
X
n=1
1
n
3/4
.
ôÁË ËÁË
lim
n→∞
n
3/4
n
3/2
+ 1
n
3/4
= 1,
ÔÏ ÐÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÐÒÉÚÎÁËÕ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÑÄÙ
∞
X
n=1
n
3/4
n
3/2
+ 1
É
∞
X
n=1
1
n
3/4
ÓÈÏÄÑÔÓÑ É ÒÁÓÈÏÄÑÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ.
§2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ                   13

ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÏÔÄÅÌØÎÏ Ä×Á ÒÑÄÁ
                       ∞                         ∞
                      X    (−1)n                 X (−1)n
                                             É             .
                            n=1
                                  n(n + 1)       n=1
                                                       n
ïÂÁ ÒÑÄÁ ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÔ ÐÒÉÚÎÁËÕ ìÅÊÂÎÉÃÁ É ÐÏÜÔÏÍÕ ÓÈÏÄÑÔÓÑ, Á ÚÎÁÞÉÔ
             ∞
             P  (−1)n (1+i+ni)
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ       n(n+1)      .
                 n=1
  ðÒÉÍÅÒ 4. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                             ∞
                            X       1
                                  3/4 + i
                                          .
                            n=1
                                n
  òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÏÂÒÁÚÕÅÍ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ
                        1         n3/4 − i           n3/4 − i
                         =                        =           .
                n3/4 + i (n3/4 + i)(n3/4 − i) n3/2 + 1
óÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ ÉÚ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ ÜË×É×ÁÌÅÎÔÎÁ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏÊ ÓÈÏ-
ÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ× ÉÚ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ É ÍÎÉÍÙÈ ÞÁÓÔÅÊ. ðÏÜÔÏÍÕ ÒÁÓÓÍÏÔÒÉÍ
ÏÔÄÅÌØÎÏ Ä×Á ÒÑÄÁ
                       ∞                   ∞
                     X       n3/4        X        1
                            3/2 + 1
                                     É          3/2 + 1
                                                        .
                      n=1
                          n               n=1
                                              n
          3
ôÁË ËÁË   2   > 1, ÔÏ ÒÑÄ
                                     ∞
                                     X        1
                                     n=1
                                           n3/2 + 1
ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   òÁÓÓÍÏÔÒÉÍ ÒÑÄ
                                     ∞
                                    n3/4
                                     X

                              n=1
                                  n3/2 + 1
É ÓÒÁ×ÎÉÍ ÅÇÏ Ó ÒÁÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÒÑÄÏÍ
                                 ∞
                               X      1
                                      3/4
                                          .
                                n=1
                                    n
ôÁË ËÁË
                                  n3/4
                              lim3/2
                                        n3/4 = 1,
                          n→∞ n      +1
ÔÏ ÐÏ ×ÔÏÒÏÍÕ ÐÒÉÚÎÁËÕ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ ÒÑÄÙ
                        ∞                    ∞
                       X     n3/4           X     1
                                       É
                       n=1
                           n3/2 + 1         n=1
                                                n3/4
ÓÈÏÄÑÔÓÑ É ÒÁÓÈÏÄÑÔÓÑ ÏÄÎÏ×ÒÅÍÅÎÎÏ.

Страницы