Теория функций комплексного переменного. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ 15
ðÒÉÍÅÒ 6. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=1
(−1)
n+1
(1 + i + ni)
n(n + 1)
.
òÅÛÅÎÉÅ: éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=1
(−1)
n+1
(1 + i + ni)
n(n + 1)
=
∞
X
n=1
(1 + (n + 1)
2
)
1
2
n(n + 1)
.
äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÅÒ×ÙÍ ÐÒÉ-
ÚÎÁËÏÍ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ
1
n
=
n + 1
n(n + 1)
<
(1 + (n + 1)
2
)
1
2
n(n + 1)
.
ôÁË ËÁË ÒÑÄ
∞
P
n=1
1
n
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ
∞
X
n=1
(1 + (n + 1)
2
)
1
2
n(n + 1)
.
éÚ ÒÁÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÑÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÑÄ
∞
P
n=1
(−1)
n+1
(1+i+ni)
n(n+1)
ÁÂÓÏ-
ÌÀÔÎÏ ÎÅ ÓÈÏÄÉÔÓÑ. ïÄÎÁËÏ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 3, ÏÎ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
éÓÈÏÄÑ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÐÒÅÄÅÌÁ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÄÏËÁÚÁÔØ:
88) lim
n→∞
n + 1
n
+ i
n − 1
n
= 1 + i.
89) lim
n→∞
1 + ni
1 − ni
= −1.
90) lim
n→∞
1 + i
2
n
= 0.
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÐÒÅÄÅÌÙ:
91) lim
n→∞
n
2n + 1
+ i
n
n + 1
.
92) lim
n→∞
(n + i)
2
2n
2
i
.
93) lim
n→∞
cos
π
3
+
1
n
+ i sin
π
3
−
1
n
.
94) lim
n→∞
z
n
1 + z
2n
, |z| < 1.
§2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ                                15

  ðÒÉÍÅÒ 6. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                       ∞
                      X   (−1)n+1(1 + i + ni)
                                              .
                      n=1
                               n(n + 1)
  òÅÛÅÎÉÅ: éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
            ∞                         ∞                 1
           X   (−1)n+1(1 + i + ni)   X   (1 + (n + 1)2) 2
                                   =                      .
           n=1
                    n(n + 1)         n=1
                                            n(n + 1)
äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÐÅÒ×ÙÍ ÐÒÉ-
ÚÎÁËÏÍ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ
                                                   1
                     1    n+1       (1 + (n + 1)2) 2
                       =          <                  .
                     n n(n + 1)        n(n + 1)
             ∞
               1
            P
ôÁË ËÁË ÒÑÄ    n ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, ÔÏ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ
            n=1
                           ∞                1
                           X (1 + (n + 1)2) 2
                                                .
                           n=1
                                  n(n + 1)
                                                    ∞
                                                    P     (−1)n+1 (1+i+ni)
éÚ ÒÁÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÑÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÒÑÄ              n(n+1)
                                                                             ÁÂÓÏ-
                                                    n=1
ÌÀÔÎÏ ÎÅ ÓÈÏÄÉÔÓÑ. ïÄÎÁËÏ, ËÁË ×ÉÄÎÏ ÉÚ ÐÒÉÍÅÒÁ 3, ÏÎ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÎÏ.

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

éÓÈÏÄÑ ÉÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ
                        ÐÒÅÄÅÌÁ
                               ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ, ÄÏËÁÚÁÔØ:
             n+1        n−1
  88) lim           +i          = 1 + i.
      n→∞
              n         n
             1 + ni
  89) lim              = −1.
      n→∞ 1 − ni
                  n
             1+i
  90) lim              = 0.
      n→∞      2
÷ÙÞÉÓÌÉÔØÐÒÅÄÅÌÙ:             
                n          n
  91) lim             +i         .
      n→∞ 2n + 1         n+1
           (n + i)2
  92) lim           .
      n→∞ 2n   2i                     
                 π 1                π 1
  93) lim cos      +      + i sin    −     .
      n→∞        3 n                3 n
              zn
  94) lim          , |z| < 1.
      n→∞ 1 + z 2n

Страницы