Теория функций комплексного переменного. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

16 §2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
95) lim
n→∞
z
n
1 + z
2n
, |z| > 1.
÷ÙÑÓÎÉÔØ, ÐÒÉ ËÁËÉÈ z ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÒÅÄÅÌÙ:
96) lim
n→∞
z
n
.
97) lim
n→∞
z
n
n
.
98) lim
n→∞
nz
n
.
99) lim
n→∞
z
n
1 + z
n
.
äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
100) lim
n→∞
1 +
z
n
n
= e
x
(cos y + i sin y), ÇÄÅ z = x + iy. õËÁÚÁÎÉÅ. îÁÊÔÉ
ÐÒÅÄÅÌÙ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÍÏÄÕÌÅÊ É ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
101) lim
n→∞
z
n
= ∞ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ lim
n→∞
1
z
n
= 0.
éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÑÄÏ×:
102)
∞
P
n=1
in + 1
n + 2i
n
n + 1
n
2
.
103)
∞
P
n=1
2i
n
n
.
104)
∞
P
n=1
(1 + i)
n
(n + i)
2
.
105)
∞
P
n=1
i
n
n
.
106)
∞
P
n=1
(2n − 1)!
(n!)
2
·
(1 + i)
n
8
n
+ (1 + i)
n
.
107)
∞
P
n=1
n!
n
n
(1 − i)
n
.
108)
∞
P
n=2
1
(n + i) ln
2
n
.
109)
∞
P
n=1
1
√
n + i
.
110)
∞
P
n=2
i
n
ln n
.
111)
∞
P
n=1
(1 + 2i)
n
2
n
n
.
112)
∞
P
n=1
(1 + i)
n
n
2
n
.
16                       §2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

               zn
  95) lim              , |z| > 1.
      n→∞ 1 + z 2n
÷ÙÑÓÎÉÔØ, ÐÒÉ ËÁËÉÈ z ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ ÐÒÅÄÅÌÙ:
  96) lim z n .
      n→∞
           zn
  97) lim .
      n→∞ n
  98) lim nz n .
      n→∞
              zn
  99) lim            .
      n→∞ 1 + z n
äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
                     z n
  100) lim 1 +                  = ex (cos y + i sin y), ÇÄÅ z = x + iy. õËÁÚÁÎÉÅ. îÁÊÔÉ
       n→∞           n
ÐÒÅÄÅÌÙ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÅÊ ÍÏÄÕÌÅÊ É ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ×.
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
                                                                   1
  101) lim zn = ∞ ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ lim                    = 0.
       n→∞                                                    n→∞ zn
éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÒÑÄÏ×:
        ∞ in + 1
                                   n 2
       P                       n
  102)                                   .
           n +
       n=1       2i n + 1
        ∞          n
       P     2i
  103)                .
       n=1    n
       P∞ (1 + i)n
  104)                2
                         .
       n=1 (n + i)
       P∞ in
  105)        .
       n=1 n
       P∞ (2n − 1)!                (1 + i)n
  106)              2
                             ·   n + (1 + i)n
                                              .
       n=1    (n!)             8
        ∞ n!
               (1 − i)n.
       P
  107)       n
       n=1 n
       P∞          1
  108)                     2 .
       n=2 (n + i) ln n
       P∞       1
  109)     √           .
       n=1    n+i
       P∞ in
  110)           .
       n=2 ln n
       P∞ (1 + 2i)n
  111)                     .
       n=1     2n n
       P∞ (1 + i)n n
  112)                     .
       n=1      2n

Страницы