Теория функций комплексного переменного. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

18 §3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
e
z
= e
(x+iy)
= e
x
(cos y + i sin y).
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ üÊÌÅÒÁ
e
iy
= cos y + i sin y.
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï üÊÌÅÒÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÄÌÑ ÐÒÅÄÓÔÁ-
×ÌÅÎÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) × ×ÉÄÅ:
z = re
iϕ
.
æÕÎËÃÉÑ w = e
z
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É ÎÁ ÄÅÊÓÔ×É-
ÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÏÇÏ.
õËÁÖÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
1) e
z
1
e
z
2
= e
z
1
+z
2
;
2) e
z
6= 0, ÔÁË ËÁË |e
z
| = e
x
> 0;
3) e
z
ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ Ó ÐÅÒÉÏÄÏÍ T = 2πi , Ô.Å. e
z+2πi
= e
z
.
ðÒÉÍÅÒ 1. úÁÐÉÓÁÔØ × ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÞÉÓÌÏ z =
√
3 + i.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÏ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
|z| =
√
3 + 1 = 2, arg z = arctg
1
√
3
=
π
6
É
z = 2
cos
π
6
+ 2πk
+ i sin
π
6
+ 2πk

= 2e
i(
π
6
+2πk)
.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÍÏÄÕÌØ É ÇÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ z = e
3+5i
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÏ z × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
z = e
3+5i
= e
3
(cos 5 + i sin 5).
ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ
|z| = e
3
, arg z = 5.
ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ e
z
− i = 0.
òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÞÉÓÌÏ i × ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
i =
cos
π
2
+ 2πk
+ i sin
π
2
+ 2πk

= e
i(
π
2
+2πk)
.
ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ e
z
− i = 0 × ×ÉÄÅ
e
z
= e
i(
π
2
+2πk)
, ÐÏÜÔÏÍÕ z = i(
π
2
+ 2πk), k ∈ Z.
18                                    §3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
                        ez = e(x+iy) = ex (cos y + i sin y).
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÓÌÅÄÕÀÝÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ üÊÌÅÒÁ
                               eiy = cos y + i sin y.
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÔÏÖÄÅÓÔ×Ï üÊÌÅÒÁ, ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÏÒÍÕ ÄÌÑ ÐÒÅÄÓÔÁ-
×ÌÅÎÉÑ ÌÀÂÏÇÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ z = r(cos ϕ + i sin ϕ) × ×ÉÄÅ:
                                     z = reiϕ .
æÕÎËÃÉÑ w = ez ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ ÎÁ ×ÓÅÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ É ÎÁ ÄÅÊÓÔ×É-
ÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ ÓÏ×ÐÁÄÁÅÔ Ó ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÝÅÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÏÇÏ.
   õËÁÖÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
    1) ez1 ez2 = ez1 +z2 ;
    2) ez 6= 0, ÔÁË ËÁË |ez | = ex > 0;
    3) ez ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÁÑ Ó ÐÅÒÉÏÄÏÍ T = 2πi , Ô.Å. ez+2πi = ez .
                                                                  √
   ðÒÉÍÅÒ 1. úÁÐÉÓÁÔØ × ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÞÉÓÌÏ z = 3 + i.
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÏ × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
                           √                          1    π
                      |z| = 3 + 1 = 2, arg z = arctg √ =
                                                       3   6
É                     π                 π                π
              z = 2 cos      + 2πk + i sin    + 2πk     = 2ei( 6 +2πk) .
                           6                6
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÍÏÄÕÌØ É ÇÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ
ÞÉÓÌÁ z = e3+5i.
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÏ z × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
                         z = e3+5i = e3 (cos 5 + i sin 5).
ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ
                               |z| = e3 , arg z = 5.
  ðÒÉÍÅÒ 3. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ez − i = 0.
  òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÞÉÓÌÏ i × ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ
                π                     π              π
           i = cos        + 2πk + i sin     + 2πk    = ei( 2 +2πk) .
                        2                 2
ðÅÒÅÐÉÛÅÍ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ez − i = 0 × ×ÉÄÅ
                      π                       π
             ez = ei( 2 +2πk) , ÐÏÜÔÏÍÕ z = i( + 2πk), k ∈ Z.
                                              2

Страницы