Теория функций комплексного переменного. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ 19
3.2. ìÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
ìÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
w = Ln z,
ÇÄÅ z 6= 0, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
z = e
w
, ÐÒÉÞÅÍ
Ln z = ln |z| + i Arg z = ln |z| + i arg z + i2kπ, k ∈ Z.
üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÏÊ. åÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÒÉ k = 0 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÌÁ×ÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÉÌÉ ÇÌÁ×ÎÏÊ ×ÅÔ×ØÀ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ln |z|,
Ô.Å.
ln z = ln |z| + i arg z É Ln z = ln z + i2kπ, k ∈ Z.
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
1) Ln(z
1
z
2
) = Ln z
1
+ Ln z
2
,
2) Ln
z
1
z
2
= Ln z
1
− Ln z
2
.
ðÒÉÍÅÒ 4. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Ln(5 + 3i).
òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ ÞÉÓÌÁ z = 5 + 3i.
|z| =
√
25 + 9 =
√
34, arg z = arctg
3
5
.
éÚ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ Ln z ÉÍÅÅÍ:
Ln(5 + 3i) = ln
√
34 + i
arctg
3
5
+ 2πk
, k ∈ Z.
ðÒÉÍÅÒ 5. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ln z − Ln z 6= 0.
òÅÛÅÎÉÅ:
Ln z − Ln z = Ln
z
z
= Ln 1.
îÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ z = 1, Á ÉÍÅÎÎÏ:
|z| = 1, Arg z = 2kπ, k ∈ Z,
ÏÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
Ln z − Ln z = ln 1 + i2kπ = i2kπ, k ∈ Z.
§3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ                                   19

3.2. ìÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ

ìÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
                                  w = Ln z,
ÇÄÅ z 6= 0, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
z = ew , ÐÒÉÞÅÍ

           Ln z = ln |z| + i Arg z = ln |z| + i arg z + i2kπ, k ∈ Z.

üÔÁ ÆÕÎËÃÉÑ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÏÊ. åÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÐÒÉ k = 0 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÇÌÁ×ÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅÍ ÉÌÉ ÇÌÁ×ÎÏÊ ×ÅÔ×ØÀ ÌÏÇÁÒÉÆÍÁ É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ ln |z|,
Ô.Å.
             ln z = ln |z| + i arg z É Ln z = ln z + i2kπ, k ∈ Z.
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
   1) Ln(z1 z2 ) = Ln z1 + Ln z2 ,
         z1
   2) Ln = Ln z1 − Ln z2 .
         z2
  ðÒÉÍÅÒ 4. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ Ln(5 + 3i).
  òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ ÞÉÓÌÁ z = 5 + 3i.
                         √        √                        3
                 |z| =    25 + 9 = 34,        arg z = arctg .
                                                           5
éÚ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÌÅÎÉÑ ÆÕÎËÃÉÉ Ln z ÉÍÅÅÍ:
                            √
                                              
                                         3
             Ln(5 + 3i) = ln 34 + i arctg + 2πk , k ∈ Z.
                                         5

  ðÒÉÍÅÒ 5. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ Ln z − Ln z 6= 0.
  òÅÛÅÎÉÅ:
                                       z
                    Ln z − Ln z = Ln = Ln 1.
                                       z
îÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ z = 1, Á ÉÍÅÎÎÏ:

                         |z| = 1, Arg z = 2kπ, k ∈ Z,

ÏÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï

                 Ln z − Ln z = ln 1 + i2kπ = i2kπ, k ∈ Z.

Страницы