Теория функций комплексного переменного. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ 21
ÇÄÅ a = α + iβ 6= 0 -ÌÀÂÏÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
a
z
= e
z Ln a
.
üÔÏ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÇÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÏ a
z
= e
z ln a
.
ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÔÅÐÅÎÉ (1 − i
√
3)
i
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ (1 − i
√
3)
i
ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ × ×ÉÄÅ
(1 −i
√
3)
i
= e
i Ln(1−i
√
3)
.
îÁÊÄÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ
Ln(1 −i
√
3).
äÌÑ ÞÅÇÏ ÎÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ 1 −i
√
3, ÐÏÌÕÞÉÍ:
|1 − i
√
3| = 2, arg(1 − i
√
3) = arctg
−
√
3
1
= −
π
3
,
ÏÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ
Ln(1 − i
√
3) = ln 2 + i(−
π
3
+ 2πk).
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÎÁÊÄÅÍ:
(1 −i
√
3)
i
= e
i Ln(1−i
√
3)
= e
i(ln 2+i(−
π
3
+2πk))
=
= e
π
3
−2πk
e
i ln 2
= e
π
3
−2πk
(cos ln 2 + i sin ln 2), k ∈ Z.
3.5. ôÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
ôÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ sin z É cos z ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÞÅÒÅÚ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÕÀ
ÆÕÎËÃÉÀ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ üÊÌÅÒÁ
sin z =
e
iz
− e
−iz
2i
É cos z =
e
iz
+ e
−iz
2
.
õËÁÖÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ:
1) ðÒÉ z = x, sin z É cos z ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ Ó ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÆÕÎËÃÉÑ-
ÍÉ sin x É cos x ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x.
2) ÷ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
3) sin z É cos z ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ Ó ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ÐÅÒÉÏÄÏÍ 2π.
4) sin z-ÎÅÞÅÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, cos z-ÞÅÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ.
5) íÏÇÕÔ ÐÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, Á ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÐÏ ÍÏ-
ÄÕÌÀ ÅÄÉÎÉÃÅÊ.
ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎËÃÉÉ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÓÉÎÕÓ sh z É ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏ-
ÓÉÎÕÓ ch z ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ:
sh z =
e
z
− e
−z
2
É ch z =
e
z
+ e
−z
2
.
§3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ                                                 21

ÇÄÅ a = α + iβ 6= 0 -ÌÀÂÏÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
                                 az = ez Ln a .
üÔÏ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÇÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ√ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÏ a z = ez ln a .
                                                              i
   ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ÓÔÅÐÅÎÉ   √ i (1 − i 3) .
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ (1 − i 3) ÓÏÇÌÁÓÎÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ × ×ÉÄÅ                      √ i                 √
                                                i Ln(1−i 3)
                            (1 − i 3) = e                   .
îÁÊÄÅÍ ÚÎÁÞÅÎÉÅ                               √
                                    Ln(1 − i 3).
                                                                       √
äÌÑ ÞÅÇÏ ÎÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ É ÁÒÇÕÍÅÎÔ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ 1 − i 3, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                                                √
                     √                      √                 − 3   π
              |1 − i 3| = 2, arg(1 − i 3) = arctg                 =− ,
                                                                1   3
ÏÔÓÀÄÁ ÉÍÅÅÍ                    √                      π
                       Ln(1 − i 3) = ln 2 + i(− + 2πk).
                                                       3
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÏÓÌÅÄÎÅÅ ×ÙÒÁÖÅÎÉÅ, ÎÁÊÄÅÍ:
       √               √                 π
 (1 − i 3)i = ei Ln(1−i 3) = ei(ln 2+i(− 3 +2πk)) =
                             π                π
                         = e 3 −2πk ei ln 2 = e 3 −2πk (cos ln 2 + i sin ln 2), k ∈ Z.

3.5. ôÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ É ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ

ôÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ sin z É cos z ÏÐÒÅÄÅÌÉÍ ÞÅÒÅÚ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÕÀ
ÆÕÎËÃÉÀ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ üÊÌÅÒÁ
                              eiz − e−iz            eiz + e−iz
                      sin z =            É cos z =             .
                                  2i                     2
õËÁÖÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ:
    1) ðÒÉ z = x, sin z É cos z ÓÏ×ÐÁÄÁÀÔ Ó ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ÆÕÎËÃÉÑ-
       ÍÉ sin x É cos x ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÊ x.
    2) ÷ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÓÏÏÔÎÏÛÅÎÉÑ.
    3) sin z É cos z ÐÅÒÉÏÄÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ Ó ÏÓÎÏ×ÎÙÍ ÐÅÒÉÏÄÏÍ 2π.
    4) sin z-ÎÅÞÅÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, cos z-ÞÅÔÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ.
    5) íÏÇÕÔ ÐÒÉÎÉÍÁÔØ ÌÀÂÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ, Á ÎÅ ÔÏÌØËÏ ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÙÅ ÐÏ ÍÏ-
       ÄÕÌÀ ÅÄÉÎÉÃÅÊ.
   ïÐÒÅÄÅÌÉÍ ÆÕÎËÃÉÉ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ÓÉÎÕÓ sh z É ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÊ ËÏ-
ÓÉÎÕÓ ch z ÆÏÒÍÕÌÁÍÉ:
                               ez − e−z            ez + e−z
                        sh z =           É ch z =           .
                                   2                   2

Страницы