Теория функций комплексного переменного. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

22 §3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
ó×ÑÚØ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ Ó ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÒÁ-
×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ
sh z = −i sin iz, ch z = cos iz,
sin z = −i sh iz, cos z = ch iz.
ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÕÀ É ÍÎÉÍÕÀ ÞÁÓÔØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
cos(1 + i).
òÅÛÅÎÉÅ:
÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
cos(z
1
+ z
2
) = cos z
1
cos z
2
− sin z
1
sin z
2
,
ÔÏÇÄÁ
cos(1 + i) = cos 1 cos i − sin 1 sin i.
úÁÐÉÛÅÍ cos i É sin i ÞÅÒÅÚ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
cos i = ch 1 É sin i = i sh 1.
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
cos(1 + i) = cos 1 ch 1 −i sin 1 sh 1.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
Re cos(1 + i) = cos 1 ch 1, Im cos(1 + i) = −sin 1 sh 1.
ðÒÉÍÅÒ 9. äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï sin 2z = 2 sin z cos z.
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ üÊ-
ÌÅÒÁ
sin 2z =
e
i2z
− e
−i2z
2i
=
(e
iz
− e
−iz
)(e
iz
+ e
−iz
)
2i
=
= 2
(e
iz
− e
−iz
)
2i
(e
iz
+ e
−iz
)
2i
= 2 sin z cos z.
úÄÅÓØ ÂÙÌÁ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
z
2
1
− z
2
2
= (z
1
− z
2
)(z
1
+ z
2
).
ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÆÕÎËÃÉÑ sh z.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ sh z ÞÅÒÅÚ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ:
sh z =
e
z
− e
−z
2
= 0.
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
e
z
− e
−z
= 0, e
z
= e
−z
, e
2z
= 1.
22                                       §3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

ó×ÑÚØ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÈ ÆÕÎËÃÉÊ Ó ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍÉ ×ÙÒÁÖÁÅÔÓÑ ÒÁ-
×ÅÎÓÔ×ÁÍÉ

                            sh z = −i sin iz, ch z = cos iz,
                            sin z = −i sh iz, cos z = ch iz.
   ðÒÉÍÅÒ 8. îÁÊÔÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÕÀ É ÍÎÉÍÕÀ ÞÁÓÔØ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ
cos(1 + i).
   òÅÛÅÎÉÅ:
   ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
                      cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 ,
ÔÏÇÄÁ
                      cos(1 + i) = cos 1 cos i − sin 1 sin i.
úÁÐÉÛÅÍ cos i É sin i ÞÅÒÅÚ ÇÉÐÅÒÂÏÌÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
                             cos i = ch 1 É sin i = i sh 1.
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ
                         cos(1 + i) = cos 1 ch 1 − i sin 1 sh 1.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
              Re cos(1 + i) = cos 1 ch 1, Im cos(1 + i) = − sin 1 sh 1.
   ðÒÉÍÅÒ 9. äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï sin 2z = 2 sin z cos z.
   òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ üÊ-
ÌÅÒÁ
           ei2z − e−i2z   (eiz − e−iz )(eiz + e−iz )
  sin 2z =              =                            =
                2i                   2i
                                            (eiz − e−iz ) (eiz + e−iz )
                                       =2                               = 2 sin z cos z.
                                                 2i            2i
úÄÅÓØ ÂÙÌÁ ÉÓÐÏÌØÚÏ×ÁÎÁ ÆÏÒÍÕÌÁ
                             z12 − z22 = (z1 − z2 )(z1 + z2 ).
     ðÒÉÍÅÒ 10. îÁÊÔÉ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÆÕÎËÃÉÑ sh z.
     òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ sh z ÞÅÒÅÚ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ:
                                        ez − e−z
                                 sh z =          = 0.
                                            2
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
                          ez − e−z = 0, ez = e−z , e2z = 1.

Страницы