Теория функций комплексного переменного. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ 23
ðÏÌÏÖÉÍ
z = x + iy É e
2z
= e
2x+i2y
= e
2x
(cos 2y + i sin 2y).
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÏ 1 × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
1 = cos 2πk + i sin 2πk, k ∈ Z,
ÐÏÜÔÏÍÕ e
2x
= 1, 2y = 2πk ÉÌÉ x = 0, y = πk, k ∈ Z. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ,
ÞÔÏ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÆÕÎËÃÉÑ sh z, ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ
× ×ÉÄÅ z = iπk, k ∈ Z.
3.6. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
æÕÎËÃÉÉ w = Arcsin z, w = Arccos z, w = Arctg z, w = Arcctg z ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ-
ÓÑ ËÁË ÆÕÎËÃÉÉ ÏÂÒÁÔÎÙÅ Ë ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÆÕÎËÃÉÑÍ z = sin w, z =
cos w, z = tg w, z = ctg w ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ÓÅ ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÙÍÉ
É ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ:
Arcsin z = −i Ln(iz +
p
1 − z
2
),
Arccos z = −i Ln(z +
p
z
2
− 1),
Arctg z = −
i
2
Ln
1 + iz
1 − iz
,
Arcctg z = −
i
2
Ln
z + i
z − i
.
ðÒÉÍÅÒ 11. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ sin z = 5.
òÅÛÅÎÉÅ: åÓÌÉ sin z = 5, ÔÏ z = Arcsin 5. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Õ-
ÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
z = Arcsin 5 = −i Ln(i5 +
p
1 − 5
2
) = −i Ln(i5 +
√
−24).
ðÏÌÕÞÉÍ Ä×Å ÓÅÒÉÉ ËÏÒÎÅÊ
z = −i Ln(i5 + i2
√
6) É z = −i Ln(i5 − i2
√
6).
ôÁË ËÁË
|(5 + 2
√
6)i| = 5 + 2
√
6, |(5 − 2
√
6)i| = 5 − 2
√
6
É
arg(5 + 2
√
6)i = arg(5 − 2
√
6)i =
π
2
,
ÐÏÌÕÞÉÍ
Ln(5 + 2
√
6)i = ln(5 + 2
√
6) + i(
π
2
+ 2kπ)
É
Ln(5 − 2
√
6)i = ln(5 − 2
√
6) + i(
π
2
+ 2kπ).
§3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ                                  23

ðÏÌÏÖÉÍ
            z = x + iy É e2z = e2x+i2y = e2x (cos 2y + i sin 2y).
ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÞÉÓÌÏ 1 × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ
                        1 = cos 2πk + i sin 2πk, k ∈ Z,
ÐÏÜÔÏÍÕ e2x = 1, 2y = 2πk ÉÌÉ x = 0, y = πk, k ∈ Z. ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ,
ÞÔÏ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÏÂÒÁÝÁÅÔÓÑ × ÎÕÌØ ÆÕÎËÃÉÑ sh z, ÍÏÖÎÏ ÐÒÅÄÓÔÁ×ÉÔØ
× ×ÉÄÅ z = iπk, k ∈ Z.

3.6. ïÂÒÁÔÎÙÅ ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ

æÕÎËÃÉÉ w = Arcsin z, w = Arccos z, w = Arctg z, w = Arcctg z ÏÐÒÅÄÅÌÑÀÔ-
ÓÑ ËÁË ÆÕÎËÃÉÉ ÏÂÒÁÔÎÙÅ Ë ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÍ ÆÕÎËÃÉÑÍ z = sin w, z =
cos w, z = tg w, z = ctg w ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÅÎÎÏ. ÷ÓÅ ÏÎÉ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÙÍÉ
É ×ÙÒÁÖÁÀÔÓÑ ÞÅÒÅÚ ÌÏÇÁÒÉÆÍÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ:
                                          p
                       Arcsin z = −i Ln(iz +1 − z 2 ),
                                          p
                     Arccos z = −i Ln(z + z 2 − 1),
                                     i   1 + iz
                        Arctg z = − Ln          ,
                                    2    1 − iz
                                       i  z+i
                        Arcctg z = − Ln         .
                                       2  z−i
  ðÒÉÍÅÒ 11. òÅÛÉÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ sin z = 5.
  òÅÛÅÎÉÅ: åÓÌÉ sin z = 5, ÔÏ z = Arcsin 5. ÷ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×Õ-
ÀÝÅÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
                                  p                    √
        z = Arcsin 5 = −i Ln(i5 + 1 − 52) = −i Ln(i5 + −24).
ðÏÌÕÞÉÍ Ä×Å ÓÅÒÉÉ ËÏÒÎÅÊ
                                 √                      √
                z = −i Ln(i5 + i2 6) É z = −i Ln(i5 − i2 6).
ôÁË ËÁË             √            √               √            √
             |(5 + 2 6)i| = 5 + 2 6,      |(5 − 2 6)i| = 5 − 2 6
É                             √               √     π
                     arg(5 + 2 6)i = arg(5 − 2 6)i = ,
                                                    2
ÐÏÌÕÞÉÍ
                           √             √       π
                  Ln(5 + 2 6)i = ln(5 + 2 6) + i( + 2kπ)
                                                 2
É                          √             √       π
                  Ln(5 − 2 6)i = ln(5 − 2 6) + i( + 2kπ).
                                                 2

Страницы