Теория функций комплексного переменного. - 24 стр.

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24 §3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
z =
π
2
+ 2kπ − i ln(5 + 2
√
6),
z =
π
2
+ 2kπ − i ln(5 − 2
√
6), k ∈ Z.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
úÁÐÉÓÁÔØ × ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÞÉÓÌÁ:
124) 1) z = −1, 2) z = i, 3) z = 1 − i, 4) z =
√
3 − i.
îÁÊÔÉ ÍÏÄÕÌÉ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ:
125) 1) e
3+2i
, 2) e
1−3i
, 3) e
2+5i
, 4) e
3−7i
, 5) e
iϕ
, |ϕ| < π, 6) e
−iϕ
, |ϕ| < π.
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ e
z
× ÔÏÞËÁÈ:
126) 1) z = 2πi, 2) z = πi, 3) z =
πi
2
, 4) z = −
πi
2
, 5) z =
πi
4
.
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
127) |e
z
| = e
Re z
.
128) e
z+2πi
= e
z
.
äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
129) cos(−z) = cos z.
130) sin(−z) = −sin z.
131) ch(−z) = ch z.
132) sh(−z) = −sh z.
133) cos
2
z + sin
2
z = 1.
134) ch
2
z − sh
2
z = 1.
135) sin(z
1
+ z
2
) = sin z
1
cos z
2
+ cos z
1
sin z
2
.
136) cos(z
1
+ z
2
) = cos z
1
cos z
2
− sin z
1
sin z
2
.
137) ch(z
1
+ z
2
) = ch z
1
ch z
2
+ sh z
1
sh z
2
.
ðÕÓÔØ z = x + iy. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
138) Re sin z = sin x ch y, Im sin z = cos x sh y.
139) Re cos z = cos x ch y, Im cos z = −sin x sh y.
140) Re sh z = sh x cos y, Im sh z = ch x sin y.
141) Re ch z = ch x cos y, Im ch z = sh x sin y.
îÁÊÔÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÉÓÅÌ:
142) 1) z = cos(2 + i), 2) z = sin 2i, 3) z = sh(−2 + i), 4) z = ch i, 5) z =
tg(2 − i).
îÁÊÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉÎÉÍÁÀÔ ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ:
143) 1) e
z
, 2) cos z, 3) sin z.
24                                    §3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
                            π                  √
                         z = + 2kπ − i ln(5 + 2 6),
                            2
                          π                 √
                      z = + 2kπ − i ln(5 − 2 6), k ∈ Z.
                          2

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

úÁÐÉÓÁÔØ × ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÅ ÞÉÓÌÁ:                   √
   124) 1) z = −1, 2) z = i, 3) z = 1 − i, 4) z = 3 − i.
îÁÊÔÉ ÍÏÄÕÌÉ É ÇÌÁ×ÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ÁÒÇÕÍÅÎÔÏ× ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ:
   125) 1) e3+2i, 2) e1−3i, 3) e2+5i, 4) e3−7i, 5) eiϕ , |ϕ| < π, 6) e−iϕ , |ϕ| < π.
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÚÎÁÞÅÎÉÑ ez × ÔÏÞËÁÈ:
                                          πi             πi         πi
   126) 1) z = 2πi, 2) z = πi, 3) z = , 4) z = − , 5) z = .
                                           2              2         4
äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
   127) |ez | = eRe z .
   128) ez+2πi = ez .
äÏËÁÚÁÔØ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Á:
   129) cos(−z) = cos z.
   130) sin(−z) = − sin z.
   131) ch(−z) = ch z.
   132) sh(−z) = − sh z.
   133) cos2 z + sin2 z = 1.
   134) ch2 z − sh2 z = 1.
   135) sin(z1 + z2 ) = sin z1 cos z2 + cos z1 sin z2 .
   136) cos(z1 + z2 ) = cos z1 cos z2 − sin z1 sin z2 .
   137) ch(z1 + z2 ) = ch z1 ch z2 + sh z1 sh z2 .
ðÕÓÔØ z = x + iy. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ:
   138) Re sin z = sin x ch y, Im sin z = cos x sh y.
   139) Re cos z = cos x ch y, Im cos z = − sin x sh y.
   140) Re sh z = sh x cos y, Im sh z = ch x sin y.
   141) Re ch z = ch x cos y, Im ch z = sh x sin y.
îÁÊÔÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ É ÍÎÉÍÙÅ ÞÁÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÞÉÓÅÌ:
   142) 1) z = cos(2 + i), 2) z = sin 2i, 3) z = sh(−2 + i), 4) z = ch i, 5) z =
tg(2 − i).
îÁÊÔÉ ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË, × ËÏÔÏÒÙÈ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÐÒÉÎÉÍÁÀÔ ÄÅÊ-
ÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÅ ÚÎÁÞÅÎÉÑ:
   143) 1) ez , 2) cos z, 3) sin z.

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