Теория функций комплексного переменного. - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

26 §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
4.1. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ
æÕÎËÃÉÑ f (z), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z
0
, ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÐÒÅÄÅÌ
lim
z→z
0
f(z) − f (z
0
)
z − z
0
= f
0
(z
0
),
ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f(z) × ÔÏÞËÅ z
0
.
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f(z) É g(z) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ, Á C ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏ-
ÑÎÎÁÑ, ÔÏÇÄÁ
1) C
0
= 0.
2) (Cf(z))
0
= Cf
0
(z).
3) (f(z) + g(z))
0
= f
0
(z) + g
0
(z).
4) (f(z)g(z))
0
= f
0
(z)g(z) + f(z)g
0
(z).
5)
f(z)
g(z)
0
=
f
0
(z)g(z) − f(z)g
0
(z)
g
2
(z)
, g(z) 6= 0.
6) ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ w = f(z) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ-
×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ z
0
, Á ÆÕÎËÃÉÑ ξ = ϕ(w), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (z), ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ w
0
, w
0
= f (z
0
),
ÔÏ ÓÌÏÖÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ξ = ϕ(f(z)) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ z
0
É
ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
(ϕ(f(z
0
)))
0
= ϕ
0
(w
0
)f
0
(z
0
).
7) ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ w = f (z) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ z
0
É f
0
(z
0
) 6= 0, Á ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë f (z) ÆÕÎËÃÉÑ z =
ϕ(w) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ, ÔÏ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ
w
0
, w
0
= f (z
0
) É ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
ϕ
0
(w
0
) =
1
f
0
(z
0
)
.
26                         §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ

     §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ

4.1. ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ

æÕÎËÃÉÑ f (z), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z 0 , ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ
ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ, ÅÓÌÉ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÙÊ ÐÒÅÄÅÌ


                              f (z) − f (z0)
                          lim                = f 0 (z0),
                         z→z0     z − z0


ÎÁÚÙ×ÁÅÍÙÊ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) × ÔÏÞËÅ z0 .
   óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á:
   ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) É g(z) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ, Á C ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏ-
ÑÎÎÁÑ, ÔÏÇÄÁ
     1) C 0 = 0.
     2) (Cf (z))0 = Cf 0(z).
     3) (f (z) + g(z))0 = f 0(z) + g 0 (z).
                   0     0                  0
     4) (f
         (z)g(z))
                0 = 0f (z)g(z) + f (z)g      (z).
                                          0
          f (z)      f (z)g(z) − f (z)g (z)
     5)           =                            , g(z) 6= 0.
          g(z)                g 2 (z)
     6) ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÓÌÏÖÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ w = f (z) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ-
        ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ z0 , Á ÆÕÎËÃÉÑ ξ = ϕ(w), ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÁÑ ÎÁ ÍÎÏÖÅÓÔ×Å
        ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÆÕÎËÃÉÉ f (z), ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ w0, w0 = f (z0),
        ÔÏ ÓÌÏÖÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ξ = ϕ(f (z)) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ z0 É
        ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:


                         (ϕ(f (z0)))0 = ϕ0(w0)f 0(z0 ).


     7) ðÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÏÂÒÁÔÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ. åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ w = f (z) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏ-
        ÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ z0 É f 0(z0 ) 6= 0, Á ÏÂÒÁÔÎÁÑ Ë f (z) ÆÕÎËÃÉÑ z =
        ϕ(w) ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁ, ÔÏ ÏÎÁ ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ
        w0, w0 = f (z0) É ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï


                                              1
                                ϕ0(w0) =                 .
                                           f 0 (z   0)

Страницы