Теория функций комплексного переменного. - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

28 §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
4.2. õÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ
ðÕÓÔØ z = x + iy É ÆÕÎËÃÉÑ f(z) = u(x, y) + iv(x, y) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z
0
= x
0
+ iy
0
. æÕÎËÃÉÑ f(z) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ z
0
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
1) u(x, y) É v(x, y) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ËÁË ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ×
ÔÏÞËÅ (x
0
, y
0
);
2) ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ
∂u
∂x
=
∂v
∂y
,
∂u
∂y
= −
∂v
∂x
.
ðÒÉÍÅÒ 2. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f(z) = z
2
Im z ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ
ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ z = 0.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÏ×ÅÒÉÍ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
f(z) = u(x, y) + iv(x, y) = z
2
Im z = (x
2
− y
2
)y + 2ixy
2
,
ÐÏÌÕÞÉÍ
∂u
∂x
= 2xy,
∂u
∂y
= x
2
− 3y
2
,
∂v
∂x
= 2y
2
,
∂v
∂y
= 4xy.
ïÔËÕÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÎÉ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞ-
ËÅ, ËÒÏÍÅ ÔÏÞËÉ z = 0. ôÁË ËÁË ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÛØ ÎÅ-
ÏÂÈÏÄÉÍÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÔÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍ f
0
(0) ÐÏ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
f
0
(0) = lim
–z→0
f(–z) −f(0)
–z
= lim
–z→0
(–z)(–y) = 0.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ f(z) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ z = 0.
éÎÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÀ f(z) = u + iv ÕÄÏÂÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÆÕÎËÃÉÀ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÈ r É ϕ, ÇÄÅ z = r(cos ϕ + i sin ϕ). úÁÐÉÛÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ ×
ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ
∂u
∂r
=
1
r
∂v
∂ϕ
,
∂v
∂r
= −
1
r
∂u
∂ϕ
.
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f(z) = z
n
.
òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ f(z) = u + iv × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ
z
n
= r
n
(cos nϕ + i sin nϕ), u(r, ϕ) = r
n
cos nϕ, v(r, ϕ) = r
n
sin nϕ
28                               §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ

4.2. õÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ

ðÕÓÔØ z = x + iy É ÆÕÎËÃÉÑ f (z) = u(x, y) + iv(x, y) ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÁ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ
ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z0 = x0 + iy0 . æÕÎËÃÉÑ f (z) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ z0
ÔÏÇÄÁ É ÔÏÌØËÏ ÔÏÇÄÁ, ËÏÇÄÁ
    1) u(x, y) É v(x, y) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ËÁË ÆÕÎËÃÉÉ Ä×ÕÈ ÐÅÒÅÍÅÎÎÙÈ ×
       ÔÏÞËÅ (x0, y0 );
    2) ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ
                             ∂u ∂v           ∂u   ∂v
                               =   ,            =− .
                             ∂x ∂y           ∂y   ∂x
  ðÒÉÍÅÒ 2. äÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) = z 2 Im z ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ
ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞËÅ z = 0.
  òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÏ×ÅÒÉÍ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
             f (z) = u(x, y) + iv(x, y) = z 2 Im z = (x2 − y 2 )y + 2ixy 2,
ÐÏÌÕÞÉÍ
                           ∂u               ∂u
                              = 2xy,           = x2 − 3y 2,
                           ∂x               ∂y
                             ∂v               ∂v
                                = 2y 2 ,         = 4xy.
                             ∂x               ∂y
ïÔËÕÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÎÉ × ÏÄÎÏÊ ÔÏÞ-
ËÅ, ËÒÏÍÅ ÔÏÞËÉ z = 0. ôÁË ËÁË ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ Ñ×ÌÑÀÔÓÑ ÌÉÛØ ÎÅ-
ÏÂÈÏÄÉÍÙÍÉ ÕÓÌÏ×ÉÑÍÉ ÓÕÝÅÓÔ×Ï×ÁÎÉÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ, ÔÏ ×ÙÞÉÓÌÉÍ f 0 (0) ÐÏ
ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
                              f (–z) − f (0)
                 f 0 (0) = lim               = lim (–z)(–y) = 0.
                         –z→0      –z         –z→0

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ z = 0.
  éÎÏÇÄÁ ÆÕÎËÃÉÀ f (z) = u + iv ÕÄÏÂÎÏ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÔØ ËÁË ÆÕÎËÃÉÀ ÐÅÒÅ-
ÍÅÎÎÙÈ r É ϕ, ÇÄÅ z = r(cos ϕ + i sin ϕ). úÁÐÉÛÅÍ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ ×
ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ
                           ∂u 1 ∂v            ∂v    1 ∂u
                              =      ,           =−      .
                           ∂r   r ∂ϕ          ∂r    r ∂ϕ
     ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) = z n .
     òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ f (z) = u + iv × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ
        z n = rn (cos nϕ + i sin nϕ), u(r, ϕ) = r n cos nϕ, v(r, ϕ) = r n sin nϕ

Страницы