Теория функций комплексного переменного. - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

30 §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ðÒÉÍÅÒ 4. õËÁÚÁÔØ, ËÁËÁÑ ÞÁÓÔØ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÖÉÍÁÅÔÓÑ, Á ËÁËÁÑ ÒÁÓÔÑ-
ÇÉ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ w = z
2
+ z.
òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ w
0
= 2z + 1 =
2x + 1 + i2y É ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÅÅ ÍÏÄÕÌØ
|w
0
| =
p
(2x + 1)
2
+ 4y
2
.
ôÁË ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅ-
ÎÉÑ, ÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ, ÇÄÅ |w
0
| < 1, ÓÖÉÍÁÅÔÓÑ, Á ÏÂÌÁÓÔØ, ÇÄÅ |w
0
| > 1, ÒÁÓÔÑÇÉ×Á-
ÅÔÓÑ.
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ (2x + 1)
2
+ 4y
2
= 1 ÄÅÌÉÔ ÐÌÏÓËÏÓÔØ z ÎÁ
Ä×Å ÞÁÓÔÉ. ÷ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÅÅ ÞÁÓÔØ (2x + 1)
2
+ 4y
2
< 1 ÐÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ w
ÓÖÉÍÁÅÔÓÑ, Á ×ÎÅÛÎÑÑ ÞÁÓÔØ (2x + 1)
2
+ 4y
2
> 1 ÒÁÓÔÑÇÉ×ÁÅÔÓÑ.
4.4. áÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ
æÕÎËÃÉÑ w = f (z) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z
0
, ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ É × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÅ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ.
éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ, ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z
0
, ÂÕÄÅÔ
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z
0
. ðÏÜÔÏÍÕ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÏÓÔÉ ×ÓÅÇÄÁ ÏÔËÒÙÔÏ.
íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË G ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÌÁÓÔØÀ, ÅÓÌÉ:
1) ÏÎÏ ÏÔËÒÙÔÏ, Ô.Å. ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÏÊ, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÜÔÏÍÕ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ;
2) ÏÎÏ Ó×ÑÚÎÏ, Ô.Å. ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÐÁÒÏÊ ÔÏÞÅË, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÜÔÏÍÕ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÌÏÍÁÎÕÀ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÜÔÉ
ÔÏÞËÉ.
ôÏÞËÁ z
0
ÎÁÚÙ×ÅÔÓÑ ÇÒÁÎÉÞÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ G, ÅÓÌÉ × ÌÀÂÏÊ ÅÅ ÏËÒÅÓÔ-
ÎÏÓÔÉ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÔÏÞËÉ ËÁË ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ, ÔÁË É ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ G. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÏÂÌÁÓÔÉ G ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÁÎÉÃÕ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ.
ïÂÌÁÓÔØ G ×ÍÅÓÔÅ Ó ÅÅ ÇÒÁÎÉÃÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ É ÏÂÏ-
ÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
G.
æÕÎËÃÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ G , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅ-
ÓËÁÑ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ.
æÕÎËÃÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ
G , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅ-
ÓËÁÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D (
G ⊂ D).
æÕÎËÃÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ γ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅ-
ÓËÁÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÜÔÕ ËÒÉ×ÕÀ.
30                           §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ

   ðÒÉÍÅÒ 4. õËÁÚÁÔØ, ËÁËÁÑ ÞÁÓÔØ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÖÉÍÁÅÔÓÑ, Á ËÁËÁÑ ÒÁÓÔÑ-
ÇÉ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ w = z 2 + z.
   òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÄÁÎÎÏÇÏ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑ w 0 = 2z + 1 =
2x + 1 + i2y É ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÅÅ ÍÏÄÕÌØ
                            0
                                p
                         |w | = (2x + 1)2 + 4y 2.

ôÁË ËÁË ÍÏÄÕÌØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅ-
ÎÉÑ, ÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ, ÇÄÅ |w 0 | < 1, ÓÖÉÍÁÅÔÓÑ, Á ÏÂÌÁÓÔØ, ÇÄÅ |w 0 | > 1, ÒÁÓÔÑÇÉ×Á-
ÅÔÓÑ.
   óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ, ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ (2x + 1)2 + 4y 2 = 1 ÄÅÌÉÔ ÐÌÏÓËÏÓÔØ z ÎÁ
Ä×Å ÞÁÓÔÉ. ÷ÎÕÔÒÅÎÎÑÑ ÅÅ ÞÁÓÔØ (2x + 1)2 + 4y 2 < 1 ÐÒÉ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ w
ÓÖÉÍÁÅÔÓÑ, Á ×ÎÅÛÎÑÑ ÞÁÓÔØ (2x + 1)2 + 4y 2 > 1 ÒÁÓÔÑÇÉ×ÁÅÔÓÑ.


4.4. áÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ

æÕÎËÃÉÑ w = f (z) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z0 , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÄÉÆÆÅ-
ÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ É × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÅ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ.
   éÚ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ, ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z 0 , ÂÕÄÅÔ
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z 0 . ðÏÜÔÏÍÕ
ÍÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÏÓÔÉ ×ÓÅÇÄÁ ÏÔËÒÙÔÏ.
   íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË G ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÂÌÁÓÔØÀ, ÅÓÌÉ:
     1) ÏÎÏ ÏÔËÒÙÔÏ, Ô.Å. ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÏÊ, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÅÊ ÜÔÏÍÕ
        ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔØ ÜÔÏÊ ÔÏÞËÉ;
     2) ÏÎÏ Ó×ÑÚÎÏ, Ô.Å. ×ÍÅÓÔÅ Ó ËÁÖÄÏÊ ÐÁÒÏÊ ÔÏÞÅË, ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÈ ÜÔÏÍÕ
        ÍÎÏÖÅÓÔ×Õ, ÏÎÏ ÓÏÄÅÒÖÉÔ É ÎÅËÏÔÏÒÕÀ ÌÏÍÁÎÕÀ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÕÀ ÜÔÉ
        ÔÏÞËÉ.
   ôÏÞËÁ z0 ÎÁÚÙ×ÅÔÓÑ ÇÒÁÎÉÞÎÏÊ ÔÏÞËÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ G, ÅÓÌÉ × ÌÀÂÏÊ ÅÅ ÏËÒÅÓÔ-
ÎÏÓÔÉ ÓÏÄÅÒÖÁÔÓÑ ÔÏÞËÉ ËÁË ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ, ÔÁË É ÎÅ ÐÒÉÎÁÄÌÅÖÁÝÉÅ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ G. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ×ÓÅÈ ÇÒÁÎÉÞÎÙÈ ÔÏÞÅË ÏÂÌÁÓÔÉ G ÏÂÒÁÚÕÀÔ ÇÒÁÎÉÃÕ ÏÂÌÁ-
ÓÔÉ.
   ïÂÌÁÓÔØ G ×ÍÅÓÔÅ Ó ÅÅ ÇÒÁÎÉÃÅÊ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ É ÏÂÏ-
           
ÚÎÁÞÁÅÔÓÑ G.
   æÕÎËÃÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ G , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅ-
ÓËÁÑ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÜÔÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ.
   æÕÎËÃÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ G   , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅ-
ÓËÁÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ D (G  ⊂ D).
   æÕÎËÃÉÑ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ËÒÉ×ÏÊ γ , ÅÓÌÉ ÏÎÁ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅ-
ÓËÁÑ × ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ, ÓÏÄÅÒÖÁÝÅÊ ÜÔÕ ËÒÉ×ÕÀ.

Страницы