Теория функций комплексного переменного. - 32 стр.

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МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

32 §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ
ðÏÓÔÏÑÎÎÁÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ x, ÔÁË ËÁË ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÌÏÓØ ÐÏ y. îÁÊÄÅÍ c(x), ÄÌÑ ÞÅÇÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ×ÔÏÒÏÅ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ
ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ:
∂u
∂y
= −2y,
∂v
∂x
= 2y + c
0
(x).
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
2y + c
0
(x) = 2y, c
0
(x) = 0, c(x) = c
0
, v(x, y) = (2x + 2)y + c
0
É
f(z) = x
2
− y
2
+ 2x + i(2xy + 2y + c
0
).
ïÐÒÅÄÅÌÉÍ c
0
ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ f(i) = −1 + 2i, ÐÏÌÕÞÉÍ:
−1 + i(2 + c
0
) = 2i − 1, c
0
= 0.
éÔÁË,
f(z) = x
2
− y
2
+ 2x + i(2xy + 2y) = (x
2
− y
2
+ i2xy) + 2(x + iy) = z
2
+ z.
ïÔ×ÅÔ: f (z) = z
2
+ z.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
ðÕÓÔØ z = x + iy. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÆÕÎËÃÉÉ:
160) 1) Re z, 2) x
2
y
2
, 3) |z|
2
, 4) x
2
+ iy
2
, 5) z Re z, 6) 2xy − i(x
2
− y
2
).
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÄÏËÁÚÁÔØ:
161) (sh z)
0
= ch z.
162) (ch z)
0
= sh z.
163) (sin z)
0
= cos z.
164) (cos z)
0
= −sin z.
165) (Ln z)
0
=
1
z
.
îÁÊÔÉ, ÇÄÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ, É ÎÁÊÔÉ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÙÅ:
166) e
ch z
.
167) sin(2e
z
).
168) sin z ch z − i cos z sh z.
169) ze
−z
.
170)
e
z
z
.
171)
z cos z
1 + z
2
.
172) tg z.
173) ctg z.
32                              §4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ

ðÏÓÔÏÑÎÎÁÑ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÍÏÖÅÔ ÚÁ×ÉÓÅÔØ ÏÔ x, ÔÁË ËÁË ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ
ÐÒÏÉÚ×ÏÄÉÌÏÓØ ÐÏ y. îÁÊÄÅÍ c(x), ÄÌÑ ÞÅÇÏ ÉÓÐÏÌØÚÕÅÍ ×ÔÏÒÏÅ ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ
ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ:
                      ∂u           ∂v
                          = −2y,      = 2y + c0 (x).
                      ∂y          ∂x
óÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ,
           2y + c0 (x) = 2y, c0 (x) = 0, c(x) = c0 , v(x, y) = (2x + 2)y + c0
É
                  f (z) = x2 − y 2 + 2x + i(2xy + 2y + c0 ).
ïÐÒÅÄÅÌÉÍ c0 ÉÚ ÕÓÌÏ×ÉÑ f (i) = −1 + 2i, ÐÏÌÕÞÉÍ:
                           −1 + i(2 + c0 ) = 2i − 1, c0 = 0.
éÔÁË,
    f (z) = x2 − y 2 + 2x + i(2xy + 2y) = (x2 − y 2 + i2xy) + 2(x + iy) = z 2 + z.
ïÔ×ÅÔ: f (z) = z 2 + z.

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

ðÕÓÔØ z = x + iy. îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÆÕÎËÃÉÉ:
  160) 1) Re z, 2) x2 y 2 , 3) |z|2 , 4) x2 + iy 2 , 5) z Re z, 6) 2xy − i(x2 − y 2 ).
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ, ÄÏËÁÚÁÔØ:
  161) (sh z)0 = ch z.
  162) (ch z)0 = sh z.
  163) (sin z)0 = cos z.
  164) (cos z)0 = − sin z.
                  1
  165) (Ln z)0 = .
                  z
îÁÊÔÉ, ÇÄÅ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ, É ÎÁÊÔÉ ÉÈ ÐÒÏÉÚ×ÏÄ-
ÎÙÅ:
  166) ech z .
  167) sin(2ez ).
  168) sin z ch z − i cos z sh z.
  169) ze−z .
       ez
  170) .
        z
       z cos z
  171)         .
       1 + z2
  172) tg z.
  173) ctg z.

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