Теория функций комплексного переменного. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

34 §5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
§5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎ-
ÎÏÇÏ
5.1. éÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ É ÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á
ðÕÓÔØ f(z) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ G ÆÕÎËÃÉÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ z. • ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÕÓÏÞÎÏ-ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ,ÌÅÖÁÝÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ
G, Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ a É ËÏÎÃÏÍ × ÔÏÞËÅ b. òÁÚÏÂØÅÍ ÄÕÇÕ ab ÌÉÎÉÉ • ÎÁ
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÄÕÇ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÏÞÅË a = z
0
, z
1
, ..., z
n
= b,
ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ × ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÌÉÎÉÉ •.
óÏÓÔÁ×ÉÍ ÓÕÍÍÕ
n−1
X
k=1
f(ξ
k
)–z
k
, ÇÄÅ –z
k
= z
k+1
− z
k
.
ôÏÞËÁ ξ
k
ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÄÕÇÅ •, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÔÏÞËÉ z
k
, z
k+1
. ðÒÅÄÅÌ
ÜÔÉÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ÓÕÍÍ ÐÒÉ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍ ÉÚÍÅÌØÞÅÎÉÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ (ÅÓÌÉ
ÏÎ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) ÐÏ
ËÒÉ×ÏÊ • É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ
Z
•
f(z)dz.
ïÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÐÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ:
1)
R
•
+
f(z)dz = −
R
•
−
f(z)dz, ÇÄÅ •
+
, •
−
ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÐÕÔØ,
ÐÒÏÈÏÄÉÍÙÊ × ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÈ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ.
2)
R
•
Cf(z)dz = C
R
•
f(z)dz, - ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
3)
R
•
f(z)dz =
R
•
1
f(z)dz +
R
•
2
f(z)dz + ... +
R
•
n
f(z)dz, ÅÓÌÉ ÐÕÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ-
×ÁÎÉÑ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ÔÏÞËÏÊ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
ÅÇÏ ÞÁÓÔÉ •
1
, •
2
, ..., •
n
.
4)
R
•
f
1
(z) + f
2
(z)dz =
R
•
f
1
(z)dz +
R
•
f
2
(z)dz.
ðÕÓÔØ
z = x + iy, f(z) = u(x, y) + iv(x, y).
÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÐÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅ-
ÎÉÀ ÏÂÙÞÎÙÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ:
Z
•
f(z)dz =
Z
•
u(x, y)dx − v(x, y)dy + i
Z
•
v(x, y)dx + u(x, y)dy.
34                §5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

     §5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎ-
      ÎÏÇÏ
5.1. éÎÔÅÇÒÁÌ ÐÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ É ÅÇÏ Ó×ÏÊÓÔ×Á

ðÕÓÔØ f (z) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ É ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ G ÆÕÎËÃÉÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ z. • ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ËÕÓÏÞÎÏ-ÇÌÁÄËÁÑ ËÒÉ×ÁÑ,ÌÅÖÁÝÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ
G, Ó ÎÁÞÁÌÏÍ × ÔÏÞËÅ a É ËÏÎÃÏÍ × ÔÏÞËÅ b. òÁÚÏÂØÅÍ ÄÕÇÕ ab ÌÉÎÉÉ • ÎÁ
ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÏÅ ÞÉÓÌÏ n ÞÁÓÔÉÞÎÙÈ ÄÕÇ Ó ÐÏÍÏÝØÀ ÔÏÞÅË a = z0 , z1 , ..., zn = b,
ÒÁÓÐÏÌÏÖÅÎÎÙÈ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ × ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ ÌÉÎÉÉ •.
óÏÓÔÁ×ÉÍ ÓÕÍÍÕ
                        n−1
                        X
                              f (ξk )–zk , ÇÄÅ –zk = zk+1 − zk .
                        k=1

ôÏÞËÁ ξk ÌÅÖÉÔ ÎÁ ÞÁÓÔÉÞÎÏÊ ÄÕÇÅ •, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÊ ÔÏÞËÉ zk , zk+1. ðÒÅÄÅÌ
ÜÔÉÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÙÈ ÓÕÍÍ ÐÒÉ ÎÅÏÇÒÁÎÉÞÅÎÎÏÍ ÉÚÍÅÌØÞÅÎÉÉ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ (ÅÓÌÉ
ÏÎ ÎÅ ÚÁ×ÉÓÉÔ ÏÔ ÒÁÚÂÉÅÎÉÑ) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏÍ ÏÔ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) ÐÏ
ËÒÉ×ÏÊ • É ÏÂÏÚÎÁÞÁÅÔÓÑ       Z
                                            f (z)dz.
                                        •
ïÓÎÏ×ÎÙÅ Ó×ÏÊÓÔ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÐÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ:
   1) f (z)dz = − f (z)dz, ÇÄÅ •+, •− ÏÂÏÚÎÁÞÁÀÔ ÏÄÉÎ É ÔÏÔ ÖÅ ÐÕÔØ,
      R            R
        •+              •−
       ÐÒÏÈÏÄÉÍÙÊ
       R           × ÐÒÏÔÉ×ÏÐÏÌÏÖÎÙÈ
                     R                 ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÑÈ.
     2) Cf (z)dz = C f (z)dz, - ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÐÏÓÔÏÑÎÎÁÑ.
       R•        R •       R               R
     3) f (z)dz = f (z)dz + f (z)dz + ... + f (z)dz, ÅÓÌÉ ÐÕÔØ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ-
        •         •1               •2                  •n
       ×ÁÎÉÑ ÏÐÉÓÙ×ÁÅÔÓÑ Ä×ÉÖÕÝÅÊÓÑ ÔÏÞËÏÊ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ
       ÅÇÏ
       R ÞÁÓÔÉ •1, •2 , ...,
                          R •n .   R
     4) f1(z) + f2(z)dz = f1(z)dz + f2(z)dz.
        •                      •              •
ðÕÓÔØ
                       z = x + iy,      f (z) = u(x, y) + iv(x, y).
÷ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÐÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë ×ÙÞÉÓÌÅ-
ÎÉÀ ÏÂÙÞÎÙÈ ËÒÉ×ÏÌÉÎÅÊÎÙÈ ÉÎÔÅÇÒÁÌÏ× ×ÔÏÒÏÇÏ ÒÏÄÁ ÏÔ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ, Á ÉÍÅÎÎÏ:
      Z           Z                         Z
         f (z)dz = u(x, y)dx − v(x, y)dy + i v(x, y)dx + u(x, y)dy.
        •          •                                    •

Страницы