Теория функций комплексного переменного. - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

36 §5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
ðÒÉÍÅÒ 2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
•
1
(
√
z)
1
dz,
ÇÄÅ • ÐÒÁ×ÁÑ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z| = 2, Re z > 0, ÐÒÏÂÅÇÁÅÍÁÑ ÏÔ ÔÏÞËÉ
z = −2i ÄÏ ÔÏÞËÉ z = 2i. þÅÒÅÚ (
√
z)
1
ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ
×ÅÔ×ÅÊ Ä×ÕÚÎÁÞÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ
√
z.
òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÄÕÇÕ • × ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ×ÉÄÅ ËÁË z = 2e
it
, −
π
2
6
t 6
π
2
. ðÏÌÕÞÉÍ
Z
•
1
(
√
z)
1
dz =
−
π
2
Z
−
π
2
2ie
it
dt
√
2e
i
t
2
=
√
2
−
π
2
Z
−
π
2
ie
i
t
2
dt =
=
h
2
√
2e
i
t
2
i
π
2
−
π
2
= 2
√
2
e
i
π
4
− e
−i
π
4
= 4
√
2i sin
π
4
= 4i.
5.2. æÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ
ðÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÊ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) × ÏÂÌÁÓÔÉ G ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ×ÓÑËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ
F (z), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ×ÓÀÄÕ × ÏÂÌÁÓÔÉ G ÕÓÌÏ×ÉÀ
F
0
(z) = f (z).
÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÂÕÄÅÍ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÇÒÁÎÉÃÁ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÏÎÅÞ-
ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ (ÍÙ ÎÅ ÄÁÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÐÏÎÑÔÉÊ (ÓÍ.
ÒÉÓÕÎÏË)),
ÇÄÅ ÇÒÁÎÉÃÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ •
0
, •
1
, •
2
.
åÓÌÉ ÏÂÌÁÓÔØ G ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ É ÅÅ ÇÒÁÎÉÃÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ
ËÒÉ×ÏÊ, ÔÏ ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ.
36                     §5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

     ðÒÉÍÅÒ 2. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                                  1
                             Z
                                 √ dz,
                                ( z)1
                                          •

ÇÄÅ • ÐÒÁ×ÁÑ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z|√= 2, Re z > 0, ÐÒÏÂÅÇÁÅÍÁÑ ÏÔ ÔÏÞËÉ
z = −2i ÄÏ ÔÏÞËÉ z = 2i. þÅÒÅÚ
                         √     ( z)1 ÏÂÏÚÎÁÞÅÎÁ ÏÄÎÁ ÉÚ ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÙÈ
×ÅÔ×ÅÊ Ä×ÕÚÎÁÞÎÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ z.
   òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÄÕÇÕ • × ÐÁÒÁÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÍ ×ÉÄÅ ËÁË z = 2eit, − π2 6
t 6 π2 . ðÏÌÕÞÉÍ
                       π                     π
                 Z− 2        it   √ Z− 2
        1                  2ie dt
 Z
                                         t
       √ dz =              √ i t = 2 iei 2 dt =
      ( z)1                  2e 2
 •              − π2                 π
                                        −2
                                   h √ t i π2    √     π       π   √      π
                                  = 2 2ei 2 π = 2 2 ei 4 − e−i 4 = 4 2i sin = 4i.
                                           −2                              4

5.2. æÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ

ðÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÊ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) × ÏÂÌÁÓÔÉ G ÎÁÚÙ×ÁÅÍ ×ÓÑËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ
F (z), ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÕÀ ×ÓÀÄÕ × ÏÂÌÁÓÔÉ G ÕÓÌÏ×ÉÀ
                                         F 0 (z) = f (z).
÷ ÄÁÌØÎÅÊÛÅÍ ÂÕÄÅÍ ÐÒÅÄÐÏÌÁÇÁÔØ, ÞÔÏ ÇÒÁÎÉÃÁ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ËÏÎÅÞ-
ÎÏÇÏ ÞÉÓÌÁ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ (ÍÙ ÎÅ ÄÁÅÍ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÑ ÜÔÉÈ ÐÏÎÑÔÉÊ (ÓÍ.
ÒÉÓÕÎÏË)),




  ÇÄÅ ÇÒÁÎÉÃÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÔÒÅÈ ÚÁÍËÎÕÔÙÈ ËÒÉ×ÙÈ •0 , •1, •2.
  åÓÌÉ ÏÂÌÁÓÔØ G ÏÇÒÁÎÉÞÅÎÁ É ÅÅ ÇÒÁÎÉÃÁ ÓÏÓÔÏÉÔ ÉÚ ÏÄÎÏÊ ÚÁÍËÎÕÔÏÊ
ËÒÉ×ÏÊ, ÔÏ ÏÎÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔØÀ.

Страницы