Теория функций комплексного переменного. - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

38 §5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ • ÞÅÔ×ÅÒÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ÔÏÞËÉ A = 1, B = i, ËÁË
ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ.
òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f(z) =
1
z
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ G .
ïÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ F (z) = ln z = ln |z|+i arg z Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÊ
ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) =
1
z
. ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ ÐÏÌÕÞÉÍ
Z
•
1
z
dz =
i
Z
1
1
z
dz = ln(i) − ln(1) = i
π
2
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ËÒÉ×ÁÑ • ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÔÏÞËÉ A = 1, B = i, ËÁË ÐÏËÁ-
ÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, ÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ ÐÒÉÍÅÎÑÔØ
ÎÅÌØÚÑ. æÕÎËÃÉÑ f (z) =
1
z
ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0, ÐÏÜÔÏ-
ÍÕ ÏÂÌÁÓÔØ G, ÇÄÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ f(z), ÎÅ ÍÏÖÅÔ
ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÔÏÞËÕ z = 0. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ËÒÉ×ÕÀ •, ÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÞËÕ z = 0, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÊ. üÔÏ
ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ:
38               §5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ • ÞÅÔ×ÅÒÔØ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ÔÏÞËÉ A = 1, B = i, ËÁË
ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ.




  òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f (z) = z1 ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ G .
  ïÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ F (z) = ln z = ln |z|+i arg z Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÏÊ
ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) = z1 . ðÏ ÆÏÒÍÕÌÅ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÐÏÌÕÞÉÍ
                                Zi
                       1             1
                   Z
                                                             π
                         dz =          dz = ln(i) − ln(1) = i .
                       z             z                       2
                   •            1
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. åÓÌÉ ËÒÉ×ÁÑ • ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÔÏÞËÉ A = 1, B = i, ËÁË ÐÏËÁ-
ÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ, ÔÏ × ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ ÐÒÉÍÅÎÑÔØ




ÎÅÌØÚÑ. æÕÎËÃÉÑ f (z) = z1 ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0, ÐÏÜÔÏ-
ÍÕ ÏÂÌÁÓÔØ G, ÇÄÅ ÒÁÓÓÍÁÔÒÉ×ÁÅÔÓÑ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (z), ÎÅ ÍÏÖÅÔ
ÓÏÄÅÒÖÁÔØ ÔÏÞËÕ z = 0. îÁ ÒÉÓÕÎËÅ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÏÂÌÁÓÔØ, ËÏÔÏÒÁÑ ÓÏÄÅÒÖÉÔ
ËÒÉ×ÕÀ •, ÎÏ ÎÅ ÓÏÄÅÒÖÉÔ ÔÏÞËÕ z = 0, ÎÅ ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÏÊ. üÔÏ
ÐÒÏÔÉ×ÏÒÅÞÉÔ ÕÓÌÏ×ÉÑÍ ÔÅÏÒÅÍÙ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ.

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ:

Страницы