Теория функций комплексного переменного. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ 39
190)
1
R
0
(1 + it)
2
dt.
191)
1
Z
0
1
1 + it
dt.
192)
1
Z
0
1 + it
1 − it
dt.
193)
π
R
0
e
−it
dt.
194)
π
R
−π
e
i3t
dt.
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
R
•
Re zdz,
R
•
Im zdz, ÇÄÅ:
195) • ÒÁÄÉÕÓ ×ÅËÔÏÒ ÔÏÞËÉ 2 + i.
196) • ×ÅÒÈÎÑÑ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z| = 1 (ÎÁÞÁÌÏ ÐÕÔÉ × ÔÏÞËÅ z = 1).
197) • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z −2| = 3, ÐÒÏÈÏÄÉÍÁÑ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ
R
•
|z|dz, ÇÄÅ:
198) • ÏÔÒÅÚÏË z = (2 − i)t, 0 6 t 6 1.
199) • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z| = 5, ÐÒÏÈÏÄÉÍÁÑ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
200) • ÌÅ×ÁÑ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z| = 1 (ÎÁÞÁÌÏ ÐÕÔÉ × ÔÏÞËÅ z = i).
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ:
201)
R
•
|z|zdz, ÇÄÅ • ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÎÔÕÒ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÅÒÈÎÅÊ ÐÏÌÕ-
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z| = 1 É ÏÔÒÅÚËÁ −1 6 Re z 6 1, Im z = 0.
202)
R
•
e
z
dz, ÇÄÅ • ÏÔÒÅÚÏË ÐÒÑÍÏÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÔÏÞËÉ z
1
= 0, z
2
= 1+i.
203)
Z
•
1
z − i
dz, ÇÄÅ • ÌÉÎÉÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÐÒÁ×ÏÊ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z −
i| = 1 É ÏÔÒÅÚËÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ ÔÏÞËÉ z
1
= 2i, z
2
= 3i.
204)
R
•
Re(sin z) cos zdz, ÇÄÅ • |Im z| 6 1, Re z =
π
4
, z =
π
4
− i ÎÁÞÁÌÏ
ÐÕÔÉ.
îÁÊÔÉ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÊ:
205) 1) e
az
, 2) ch az, 3) sh az, 4) cos az, 5) sin az, 6) ze
az
, 7) z
2
ch az,
8) z cos az.
ðÏÌØÚÕÑÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ:
206)
−1−i
R
1+i
(z
2
− z + 1)dz.
§5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ                            39

          R1
   190) (1 + it)2dt.
          0
          Z1
                  1
   191)                dt.
                1 + it
          0
          Z1
                1 + it
   192)                dt.
                1 − it
          0
          Rπ
   193)        e−itdt.
          0
          Rπ
   194)        ei3tdt.
          −π                 R             R
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ              Re zdz,       Im zdz, ÇÄÅ:
                             •             •
  195) • ÒÁÄÉÕÓ ×ÅËÔÏÒ ÔÏÞËÉ 2 + i.
  196) • ×ÅÒÈÎÑÑ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z| = 1 (ÎÁÞÁÌÏ ÐÕÔÉ × ÔÏÞËÅ z = 1).
  197) • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØR|z − 2| = 3, ÐÒÏÈÏÄÉÍÁÑ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ |z|dz, ÇÄÅ:
                             •
  198) • ÏÔÒÅÚÏË z = (2 − i)t, 0 6 t 6 1.
  199) • ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z| = 5, ÐÒÏÈÏÄÉÍÁÑ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
  200) • ÌÅ×ÁÑ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |z| = 1 (ÎÁÞÁÌÏ ÐÕÔÉ × ÔÏÞËÅ z = i).
÷ÙÞÉÓÌÉÔØ
       R ÉÎÔÅÇÒÁÌÙ:
  201) |z|
          z dz, ÇÄÅ • ÚÁÍËÎÕÔÙÊ ËÏÎÔÕÒ, ÓÏÓÔÏÑÝÉÊ ÉÚ ×ÅÒÈÎÅÊ ÐÏÌÕ-
          •
ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ
       R z |z| = 1 É ÏÔÒÅÚËÁ −1 6 Re z 6 1, Im z = 0.
  202) e dz, ÇÄÅ • ÏÔÒÅÚÏË ÐÒÑÍÏÊ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÉÊ ÔÏÞËÉ z1 = 0, z2 = 1+i.
       •
            1
       Z
  203)         dz, ÇÄÅ • ÌÉÎÉÑ, ÓÏÓÔÏÑÝÁÑ ÉÚ ÐÒÁ×ÏÊ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z −
         z−i
          •
i| = 1 É ÏÔÒÅÚËÁ, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÅÇÏ ÔÏÞËÉ z1 = 2i, z2 = 3i.
         R                                              π       π
   204) Re(sin z) cos zdz, ÇÄÅ • | Im z| 6 1, Re z = , z = − i ÎÁÞÁÌÏ
         •                                              4       4
ÐÕÔÉ.
îÁÊÔÉ ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÊ:
   205) 1) eaz , 2) ch az, 3) sh az, 4) cos az, 5) sin az, 6) zeaz , 7) z 2 ch az,
8) z cos az.
ðÏÌØÚÕÑÓØ ÆÏÒÍÕÌÏÊ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ:
         −1−i
             (z 2 − z + 1)dz.
           R
   206)
          1+i

Страницы