Теория функций комплексного переменного. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÏÛÉ. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ëÏÛÉ 41
ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × D. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ z
0
∈ G ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ
ÆÏÒÍÕÌÁ ëÏÛÉ:
Z
•
f(z)
z −z
0
dz = 2πif (z
0
)
É
Z
•
f(z)
(z −z
0
)
n+1
dz =
2πi
n!
f
(n)
(z
0
),
ÇÄÅ f
(n)
- ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏÒÑÄËÁ n ÆÕÎËÃÉÉ f(z).
ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
R
•
1
z
2
+ 1
dz, ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ •
1)• : |z − 1| =
1
2
; 2)• : |z − i| =
1
2
; 3)• : |z + i| =
1
2
; 4)• : |z| = 2.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. úÄÅÓØ É ÄÁÌØÛÅ, ÅÓÌÉ ÎÅ ÏÇÏ×ÏÒÅÎÏ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÅ, ÐÏÌÁÇÁÅÍ,
ÞÔÏ ËÏÎÔÕÒ • ÏÂÈÏÄÉÔÓÑ × ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ.
òÅÛÅÎÉÅ: 1) ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ
1
z
2
+ 1
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÒÕÇÅ |z −1| 6
1
2
,
ÔÏ ÐÒÉÍÅÎÉÍÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ëÏÛÉ, ÐÏÜÔÏÍÕ
Z
•
1
z
2
+ 1
dz = 0.
2) ÷ ËÒÕÇÅ |z − i| 6
1
2
ÆÕÎËÃÉÑ
1
z
2
+ 1
ÉÍÅÅÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ × ÔÏÞËÅ z = i É
ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÏÓÐÏÌØÚÕ-
ÅÍÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ëÏÛÉ
Z
•
1
1
z
2
+ 1
dz =
Z
|z−i|=
1
2
1
z
2
+ 1
dz =
Z
|z−i|=
1
2
1
(z − i)(z + i)
dz =
=
Z
|z−i|=
1
2
1
z+i
z − i
dz = 2πi
1
z
0
+ i
z
0
=i
= π.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ z
0
= i, f(z) =
1
z + i
, ËÏÎÔÕÒ • = •
1
: |z − i| =
1
2
ÏÂÈÏÄÉÔÓÑ
ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
3) ÷ ËÒÕÇÅ |z + i| 6
1
2
ÆÕÎËÃÉÑ
1
z
2
+ 1
ÉÍÅÅÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ × ÔÏÞËÅ z =
−i É ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ
§6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÏÛÉ. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ëÏÛÉ                                                               41

ÓÏÄÅÒÖÉÔÓÑ × D. ôÏÇÄÁ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ z0 ∈ G ÓÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ
ÆÏÒÍÕÌÁ ëÏÛÉ:
                            f (z)
                        Z
                                  dz = 2πif (z0)
                           z − z0
                                     •
É
                                       f (z)          2πi (n)
                                Z
                                                 dz =     f (z0 ),
                                    (z − z0 )n+1       n!
                                •

ÇÄÅ f (n) - ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÐÏÒÑÄËÁ n ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
                                     R 1
   ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ          2+1
                                             dz, ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ •
                                     • z

         1)• : |z − 1| = 21 ; 2)• : |z − i| = 12 ; 3)• : |z + i| = 12 ; 4)• : |z| = 2.

   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. úÄÅÓØ É ÄÁÌØÛÅ, ÅÓÌÉ ÎÅ ÏÇÏ×ÏÒÅÎÏ ÐÒÏÔÉ×ÎÏÅ, ÐÏÌÁÇÁÅÍ,
ÞÔÏ ËÏÎÔÕÒ • ÏÂÈÏÄÉÔÓÑ × ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÏÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÉ.
                                   1                                   1
   òÅÛÅÎÉÅ: 1) ôÁË ËÁË ÆÕÎËÃÉÑ 2        ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÒÕÇÅ |z − 1| 6 ,
                                 z +1                                  2
ÔÏ ÐÒÉÍÅÎÉÍÁ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÔÅÏÒÅÍÁ ëÏÛÉ, ÐÏÜÔÏÍÕ
                                 1
                            Z
                                     dz = 0.
                              z2 + 1
                                         •

                      1            1
     2) ÷ ËÒÕÇÅ |z − i| 6ÆÕÎËÃÉÑ 2     ÉÍÅÅÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ × ÔÏÞËÅ z = i É
                      2          z +1
ÐÏÜÔÏÍÕ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÏÓÐÏÌØÚÕ-
ÅÍÓÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ëÏÛÉ

       1                1                  1
  Z             Z                Z
           dz =             dz =                    dz =
    z2 + 1           z2 + 1          (z − i)(z + i)
    •1              |z−i|= 21                |z−i|= 21
                                                                      1
                                                                                         1
                                                            Z
                                                                     z+i
                                                     =                     dz = 2πi                    = π.
                                                                     z−i              z0 + i   z0 =i
                                                         |z−i|= 21

                               1
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ z0 = i, f (z) =     , ËÏÎÔÕÒ • = •1 : |z − i| = 12 ÏÂÈÏÄÉÔÓÑ
                              z+i
ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
                        1             1
  3) ÷ ËÒÕÇÅ |z + i| 6    ÆÕÎËÃÉÑ 2      ÉÍÅÅÔ ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔØ × ÔÏÞËÅ z =
                        2          z +1
−i É ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ

Страницы