Теория функций комплексного переменного. - 42 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

42 §6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÏÛÉ. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ëÏÛÉ
ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ëÏÛÉ
Z
•
2
1
z
2
+ 1
dz =
Z
|z+i|=
1
2
1
z
2
+ 1
dz =
Z
|z+i|=
1
2
1
(z − i)(z + i)
dz =
=
Z
|z+i|=
1
2
1
z−i
z + i
dz = 2πi
1
z
0
− i
z
0
=−i
= −π.
÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ z
0
= −i, f(z) =
1
z − i
ËÏÎÔÕÒ • = •
2
: |z + i| =
1
2
ÏÂÈÏÄÉÔÓÑ
ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
4) ÷ ËÒÕÇÅ |z| 6 2 ÆÕÎËÃÉÑ
1
z
2
+ 1
ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÁÈ z =
i, z = −i. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ëÏÛÉ ÄÌÑ
ÍÎÏÇÏÓ×ÑÚÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ G. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å G ×ÏÚØÍÅÍ ÏÂÌÁÓÔØ, ÇÒÁÎÉÃÅÊ ËÏÔÏÒÏÊ
ÓÌÕÖÁÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ
•
0
: |z| = 2; •
−
1
: |z − i| =
1
2
; •
−
2
: |z + i| =
1
2
.
ëÏÎÔÕÒ •
0
ÏÂÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, Á ËÏÎÔÕÒÙ •
1
, •
2
ÐÏ ÞÁÓÏ×ÏÊ
ÓÔÒÅÌËÅ. æÕÎËÃÉÑ
1
z
2
+ 1
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ
Z
•
0
1
z
2
+ 1
dz +
Z
•
−
1
1
z
2
+ 1
dz +
Z
•
−
2
1
z
2
+ 1
dz = 0
É
Z
•
0
1
z
2
+ 1
dz =
Z
•
1
1
z
2
+ 1
dz +
Z
•
2
1
z
2
+ 1
dz
42                            §6. ôÅÏÒÅÍÁ ëÏÛÉ. éÎÔÅÇÒÁÌØÎÁÑ ÆÏÒÍÕÌÁ ëÏÛÉ

ÉÎÔÅÇÒÁÌØÎÏÊ ÆÏÒÍÕÌÏÊ ëÏÛÉ

       1              1                                     1
  Z             Z                             Z
           dz =           dz =                                       dz =
    z2 + 1         z2 + 1                             (z − i)(z + i)
    •2         |z+i|= 21                 |z+i|= 21
                                                               1
                                                                                      1
                                                     Z
                                                              z−i
                                              =                         dz = 2πi                     = −π.
                                                              z+i                  z0 − i   z0 =−i
                                                  |z+i|= 21

                                    1
   ÷ ÜÔÏÍ ÓÌÕÞÁÅ z0 = −i, f (z) =      ËÏÎÔÕÒ • = •2 : |z + i| = 21 ÏÂÈÏÄÉÔÓÑ
                                  z−i
ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ.
                                  1
   4) ÷ ËÒÕÇÅ |z| 6 2 ÆÕÎËÃÉÑ 2       ÉÍÅÅÔ Ä×Å ÏÓÏÂÅÎÎÏÓÔÉ × ÔÏÞËÁÈ z =
                                z +1
i, z = −i. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÔÅÏÒÅÍÏÊ ëÏÛÉ ÄÌÑ
ÍÎÏÇÏÓ×ÑÚÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ G. ÷ ËÁÞÅÓÔ×Å G ×ÏÚØÍÅÍ ÏÂÌÁÓÔØ, ÇÒÁÎÉÃÅÊ ËÏÔÏÒÏÊ
ÓÌÕÖÁÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ




                                            1                  1
              •0 : |z| = 2; •−
                             1 : |z − i| = ;    •−
                                                 2 : |z + i| = .
                                            2                  2
ëÏÎÔÕÒ •0 ÏÂÈÏÄÉÔÓÑ ÐÒÏÔÉ× ÞÁÓÏ×ÏÊ ÓÔÒÅÌËÉ, Á ËÏÎÔÕÒÙ •1, •2 ÐÏ ÞÁÓÏ×ÏÊ
                    1
ÓÔÒÅÌËÅ. æÕÎËÃÉÑ 2       ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÕËÁÚÁÎÎÏÊ ÏÂÌÁÓÔÉ. ðÏÜÔÏÍÕ
                 z +1
                     1               1              1
               Z              Z               Z
                         dz +            dz +           dz = 0
                  z2 + 1          z2 + 1         z2 + 1
                •0                  •−
                                     1                        •−
                                                               2


É
                              1                  1                         1
                     Z                   Z                         Z
                                  dz =               dz +                      dz
                           z2 + 1             z2 + 1                    z2 + 1
                     •0                  •1                        •2

Страницы