Теория функций комплексного переменного. - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ 37
ðÕÓÔØ ÏÂÌÁÓÔØ G ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÁÑ É ËÒÉ×ÁÑ • ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ G. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ
f(z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ G.
óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ
Z
•
f(z)dz =
B
Z
A
f(z)dz = F (B) − F (A),
ÇÄÅ A É B ÎÁÞÁÌÏ É ËÏÎÅà ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ, F (z) ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÄÌÑ
ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
•
(z − 1)dz,
ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ • ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÔÏÞËÉ A = 2+i, B = −2−i, ËÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ.
òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f(z) = z − 1 ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ×Ï ×ÓÅÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ
ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ
Z
•
(z − 1)dz =
−2−i
Z
2+i
(z − 1)dz =
z
2
2
− z
−2−i
2+i
=
=
(−2 − i)
2
2
− (−2 − i) −
(2 + i)
2
2
+ (2 + i) = 4 + 2i.
ðÒÉÍÅÒ 4. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁìÅÊÂÎÉÃÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
•
1
z
dz,
§5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ                               37

    ðÕÓÔØ ÏÂÌÁÓÔØ G ÏÄÎÏÓ×ÑÚÎÁÑ É ËÒÉ×ÁÑ • ÌÅÖÉÔ ×ÎÕÔÒÉ G. ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ
f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÏÂÌÁÓÔÉ G.
    óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Á ÆÏÒÍÕÌÁ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ
                         Z               ZB
                             f (z)dz =        f (z)dz = F (B) − F (A),
                         •               A

ÇÄÅ A É B ÎÁÞÁÌÏ É ËÏÎÅà ÐÕÔÉ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ, F (z) ÐÅÒ×ÏÏÂÒÁÚÎÁÑ ÄÌÑ
ÆÕÎËÃÉÉ f (z).
   ðÒÉÍÅÒ 3. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                            Z
                              (z − 1)dz,
                                         •

ÇÄÅ ËÒÉ×ÁÑ • ÓÏÅÄÉÎÑÅÔ ÔÏÞËÉ A = 2+i, B = −2−i, ËÁË ÐÏËÁÚÁÎÏ ÎÁ ÒÉÓÕÎËÅ.




  òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f (z) = z − 1 ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ×Ï ×ÓÅÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ
ÐÌÏÓËÏÓÔÉ, ÐÏÜÔÏÍÕ ÍÙ ÍÏÖÅÍ ÐÒÉÍÅÎÉÔØ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ

                   −2−i                            −2−i
                                     z2
 Z                 Z                     
     (z − 1)dz =         (z − 1)dz =    −z                 =
                                     2              2+i
 •                 2+i
                                (−2 − i)2              (2 + i)2
                              =           − (−2 − i) −          + (2 + i) = 4 + 2i.
                                   2                      2
  ðÒÉÍÅÒ 4. ðÒÉÍÅÎÑÑ ÆÏÒÍÕÌÕ îØÀÔÏÎÁ ìÅÊÂÎÉÃÁ, ×ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                               1
                             Z
                                 dz,
                               z
                                              •

Страницы