Теория функций комплексного переменного. - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ 35
üÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ ÌÅÇËÏ ÚÁÐÏÍÎÉÔØ, ÅÓÌÉ ÎÁÐÉÓÁÔØ × ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ:
Z
•
f(z)dz =
Z
•
(u + iv)(dx + idy).
ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
Z
•
(2z + z + i)dz,
ÇÄÅ • ÄÕÇÁ ÐÁÒÁÂÏÌÙ y = x
2
, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ÔÏÞËÉ z = 0 É z = 1 + i.
òÅÛÅÎÉÅ:
Z
•
(2z + z + i)dz =
Z
•
3xdx −(y + 1)dy + i
Z
•
(y + 1)dx + 3xdy =
=
1
Z
0
(3x − 2(x
2
+ 1)x)dx + i
1
Z
0
(x
2
+ 1 + 6x
2
)dx =
=
1
Z
0
(x −2x
3
)dx + i
1
Z
0
(7x
2
+ 1)dx =

x
2
2
−
x
4
2

1
0
+ i

7
3
x
3
+ x

1
0
=
10
3
i.
þÁÓÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÐÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. ðÕÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉ-
ÎÉÉ • ÚÁÄÁÎÏ × ×ÉÄÅ
z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b],
ÇÄÅ x(t), y(t) Ä×Å ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ-ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ t ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Ä×ÕÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ t (ÚÁ ÉÓ-
ËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, t = a É t = b) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ
ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. éÍÅÅÍ
Z
•
f(z)dz =
b
Z
a
f(z(t))z
0
(t)dt =
=
b
Z
a
u(x(t), y(t))x
0
(t)dt − v(x(t), y(t))y
0
(t)dt+
+ i
b
Z
a
v(x(t), y(t))x
0
(t)dt + u(x(t), y(t))y
0
(t)dt.
§5. éÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÊ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ                                                                35

üÔÕ ÆÏÒÍÕÌÕ ÌÅÇËÏ ÚÁÐÏÍÎÉÔØ, ÅÓÌÉ ÎÁÐÉÓÁÔØ × ÔÁËÏÍ ×ÉÄÅ:
                    Z          Z
                      f (z)dz = (u + iv)(dx + idy).
                                           •              •
    ðÒÉÍÅÒ 1. ÷ÙÞÉÓÌÉÔØ ÉÎÔÅÇÒÁÌ
                          Z
                            (2z + z + i)dz,
                                                     •

ÇÄÅ • ÄÕÇÁ ÐÁÒÁÂÏÌÙ y = x2, ÓÏÅÄÉÎÑÀÝÁÑ ÔÏÞËÉ z = 0 É z = 1 + i.
   òÅÛÅÎÉÅ:
  Z                  Z                    Z
    (2z + z + i)dz = 3xdx − (y + 1)dy + i (y + 1)dx + 3xdy =
 •                                     •                                •
                          Z1                                          Z1
                     =         (3x − 2(x2 + 1)x)dx + i                    (x2 + 1 + 6x2)dx =
                          0                                           0
    Z1                             Z1                                       1                      1
                                                                    x2 x4
                                                                                     
                3                              2                                            7 3                10
=        (x − 2x )dx + i                   (7x + 1)dx =               −           +i          x +x         =      i.
                                                                    2   2     0             3          0       3
     0                             0
  þÁÓÔÏ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ ÐÏ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÍÕ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÍÕ Ó×ÏÄÉÔÓÑ Ë
×ÙÞÉÓÌÅÎÉÀ ÏÂÙËÎÏ×ÅÎÎÏÇÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÁÌÁ. ðÕÓÔØ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÅ ÌÉ-
ÎÉÉ • ÚÁÄÁÎÏ × ×ÉÄÅ
                                               z(t) = x(t) + iy(t), t ∈ [a, b],
ÇÄÅ x(t), y(t) Ä×Å ÎÅÐÒÅÒÙ×ÎÏ-ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ
ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ t ÔÁËÉÅ, ÞÔÏ Ä×ÕÍ ÒÁÚÌÉÞÎÙÍ ÚÎÁÞÅÎÉÑÍ ÐÁÒÁÍÅÔÒÁ t (ÚÁ ÉÓ-
ËÌÀÞÅÎÉÅÍ, ÂÙÔØ ÍÏÖÅÔ, t = a É t = b) ÓÏÏÔ×ÅÔÓÔ×ÕÀÔ Ä×Å ÒÁÚÌÉÞÎÙÅ ÔÏÞËÉ
ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ. éÍÅÅÍ
 Z                   Zb
         f (z)dz =        f (z(t))z 0(t)dt =
 •                   a
                              Zb
                          =            u(x(t), y(t))x0(t)dt − v(x(t), y(t))y 0(t)dt+
                               a
                                                          Zb
                                                     +i        v(x(t), y(t))x0(t)dt + u(x(t), y(t))y 0(t)dt.
                                                          a

Страницы