Теория функций комплексного переменного. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ 33
174)
e
z
+ 1
e
z
− 1
.
175)
1
tg z + ctg z
.
176) (e
z
− e
−z
)
2
.
177)
cos z
cos z −sin z
.
ðÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ:
178) 1) z
n
, 2) e
z
, 3) cos z, 4) Ln z.
îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉ-
ÎÉÃÅ:
179) 1) w = z
2
− 2z, 2) w =
1
z
, 3) w = z
3
, 4) w =
1 + iz
1 −iz
.
îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÕÇÏÌ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ:
180) 1) w = iz
2
, 2) w =
1 + iz
1 −iz
, 3) w = −z
3
, 4) w = z
2
− 2z, 5) w =
i
z
.
ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ËÁËÁÑ ÞÁÓÔØ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÖÉÍÁÅÔÓÑ, Á ËÁËÁÑ ÒÁÓÔÑÇÉ×ÁÅÔÓÑ:
181) 1) w = z
2
, 2) w = e
z
, 3) w = ln(z − 1).
ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ C -ÌÕÞ arg(z − z
0
) = ϕ, ×ÙÈÏÄÑÝÁÑ ÉÚ ÔÏÞËÉ z
0
. îÁÊÔÉ ËÏÜÆ-
ÆÉÃÉÅÎÔ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ É ÕÇÏÌ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ × ÔÏÞËÅ z
0
ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÌÕÞÁ
ÐÒÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ:
182) 1) w = z
2
, z
0
= 1, 2) w = w = z
2
, z
0
= i, 3) w = ie
2z
, z
0
= 0, 4) w =
2z + iz, z
0
= 0, 5) w =
1 − iz
1 + iz
, z
0
= −i.
îÁÊÔÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z
0
, ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÅÅ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ u(x, y) ÉÌÉ ÍÎÉÍÁÑ v(x, y) ÞÁÓÔØ É ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (z
0
):
183) u =
x
x
2
+ y
2
, f (π) =
1
π
.
184) v = arctg
y
x
, f(1) = 0.
185) u = 3x
2
− 4xy −3y
2
, f (i) = −3 − 2i.
186) v = 2y(5x − 3), f
1
5
= −1.
187) v = sin y ch(x + 1), f
−1 +
π
2
i
= i.
188) u =
2y
(x + 1)
2
+ y
2
, f (i) = i.
÷ÙÑÓÎÉÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÌÉ ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
189) 1)u(x, y) = e
y/x
, 2)v(x, y) = e
−x
sin 2y.
§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ                                       33

         ez + 1
   174) z        .
         e −1
               1
   175)                .
         tg z + ctg z
   176) (ez − e−z )2.
             cos z
   177)                  .
         cos z − sin z
ðÒÏ×ÅÒÉÔØ ×ÙÐÏÌÎÅÎÉÅ ÕÓÌÏ×ÉÊ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÊ:
   178) 1) z n , 2) ez , 3) cos z, 4) Ln z.
îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ ÒÁ×ÅÎ ÅÄÉ-
ÎÉÃÅ:
                                        1                      1 + iz
   179) 1) w = z 2 − 2z, 2) w = , 3) w = z 3 , 4) w =                 .
                                        z                      1 − iz
îÁÊÔÉ ×ÓÅ ÔÏÞËÉ, × ËÏÔÏÒÙÈ ÕÇÏÌ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ ÒÁ×ÅÎ ÎÕÌÀ:
                                  1 + iz                                         i
   180) 1) w = iz 2 , 2) w =              , 3) w = −z 3 , 4) w = z 2 − 2z, 5) w = .
                                  1 − iz                                         z
ïÐÒÅÄÅÌÉÔØ ËÁËÁÑ ÞÁÓÔØ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÓÖÉÍÁÅÔÓÑ, Á ËÁËÁÑ ÒÁÓÔÑÇÉ×ÁÅÔÓÑ:
   181) 1) w = z 2 , 2) w = ez , 3) w = ln(z − 1).
ðÕÓÔØ ËÒÉ×ÁÑ C -ÌÕÞ arg(z − z0 ) = ϕ, ×ÙÈÏÄÑÝÁÑ ÉÚ ÔÏÞËÉ z0 . îÁÊÔÉ ËÏÜÆ-
ÆÉÃÉÅÎÔ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ É ÕÇÏÌ ÐÏ×ÏÒÏÔÁ × ÔÏÞËÅ z0 ÄÌÑ ÜÔÏÇÏ ÌÕÞÁ
ÐÒÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÑÈ:
   182) 1) w = z 2 , z0 = 1, 2) w = w = z2 , z0 = i, 3) w = ie2z , z0 = 0, 4) w =
                              1 − iz
2z + i
      z , z0 = 0, 5) w =             , z0 = −i.
                              1 + iz
îÁÊÔÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z0 , ÅÓÌÉ ÉÚ×ÅÓÔÎÙ ÅÅ
ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÁÑ u(x, y) ÉÌÉ ÍÎÉÍÁÑ v(x, y) ÞÁÓÔØ É ÚÎÁÞÅÎÉÅ f (z 0):
                   x                1
   183) u = 2           ,  f (π) =    .
              x + y2                π
                     y
   184) v = arctg , f (1) = 0.
                     x
   185) u = 3x2 − 4xy − 3y 2, f (i) = −3 − 2i.
                                  
                                  1
   186) v = 2y(5x − 3), f               = −1.
                                  5
                                            π 
   187) v = sin y ch(x + 1), f −1 + i = i.
                                             2
                     2y
   188) u =                    , f (i) = i.
              (x + 1)2 + y 2
÷ÙÑÓÎÉÔØ, Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÄÁÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÉÌÉ ÍÎÉÍÏÊ ÞÁÓÔØÀ
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÉ:
   189) 1)u(x, y) = ey/x , 2)v(x, y) = e−x sin 2y.

Страницы