Теория функций комплексного переменного. - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ 31
æÕÎËÃÉÑ f(z) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ
ϕ(z) = f
1
z
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z = 0.
ðÒÉÍÅÒ 5. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) = z Re z
1) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0;
2) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0.
òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
f(z) = u + iv = z Re z = (x + iy)x = x
2
+ ixy, u = x
2
, v = xy.
îÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
∂u
∂x
= 2x,
∂u
∂y
= 0,
∂v
∂x
= y,
∂v
∂y
= x.
ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÊ
ÔÏÞËÅ z = 0. ðÏÜÔÏÍÕ, ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0.
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ f
0
(0). ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
f
0
(0) = lim
–z→0
f(–z) − f (0)
–z
= lim
–z→0
–z–x
–z
= 0.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ f(z) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ z = 0, ÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ.
ðÒÉÍÅÒ 6. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f(z) = z
2
+ 3e
z
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ×
ÏÂÌÁÓÔÉ G = {z : |z| < 1}.
òÅÛÅÎÉÅ: éÓÐÏÌØÚÕÑ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÓÕÍÍÙ É ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÊ (z
2
)
0
= 2z, (3e
z
)
0
= 3e
z
, ÎÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ
(f(z))
0
= (z
2
+3e
z
)
0
= 2z +3e
z
. ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ z, |z| < 1
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉf (z) = z
2
+3e
z
, ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÎÁ Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ G.
ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÕÀ × ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÀ
f(z) = u + iv ÐÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÅÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÉ u(x, y) = x
2
− y
2
+ 2x,
ÅÓÌÉ f(i) = −1 + 2i.
òÅÛÅÎÉÅ: éÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ ÉÍÅÅÍ:
∂u
∂x
=
∂v
∂y
= 2x + 2.
ðÏÜÔÏÍÕ
v(x, y) =
Z
(2x + 2)dy = (2x + 2)y + c(x).
§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ                                    31

  æÕÎËÃÉÑ  f (z) ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÎÁ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÓÔÉ, ÅÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ
           1
ϕ(z) = f        ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z = 0.
           z
  ðÒÉÍÅÒ 5. ðÒÏ×ÅÒÉÔØ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) = z Re z
    1) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0;
    2) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0.
  òÅÛÅÎÉÅ: äÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ
       f (z) = u + iv = z Re z = (x + iy)x = x2 + ixy, u = x2 , v = xy.
îÁÊÄÅÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
                               ∂u            ∂u
                                  = 2x,          = 0,
                               ∂x             ∂y
                               ∂v            ∂v
                                  = y,           = x.
                               ∂x            ∂y
ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÕÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ ×ÙÐÏÌÎÑÀÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÏÄÎÏÊ
ÔÏÞËÅ z = 0. ðÏÜÔÏÍÕ, ÆÕÎËÃÉÑ ÎÅ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÔÏÞËÅ z = 0.
÷ÙÞÉÓÌÉÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ f 0 (0). ðÏ ÏÐÒÅÄÅÌÅÎÉÀ
                                 f (–z) − f (0)       –z–x
                f 0(0) = lim                    = lim       = 0.
                            –z→0      –z         –z→0 –z

ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁ × ÔÏÞËÅ z = 0, ÎÏ ÎÅ Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ.
    ðÒÉÍÅÒ 6. ðÏËÁÚÁÔØ, ÞÔÏ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) = z 2 + 3ez ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ×
ÏÂÌÁÓÔÉ G = {z : |z| < 1}.
    òÅÛÅÎÉÅ: éÓÐÏÌØÚÕÑ Ó×ÏÊÓÔ×Ï ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ ÓÕÍÍÙ É ÉÚ×ÅÓÔÎÙÅ ÐÒÏ-
ÉÚ×ÏÄÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÊ (z 2 )0 = 2z, (3ez )0 = 3ez , ÎÁÊÄÅÍ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÉ
(f (z))0 = (z 2 +3ez )0 = 2z +3ez . ïÔÓÀÄÁ ×ÉÄÎÏ, ÞÔÏ ÄÌÑ ÌÀÂÏÊ ÔÏÞËÉ z, |z| < 1
ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ ËÏÎÅÞÎÁÑ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÉf (z) = z 2 +3ez , ÐÏÜÔÏÍÕ ÏÎÁ Ñ×ÌÑ-
ÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ G.
    ðÒÉÍÅÒ 7. îÁÊÔÉ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÕÀ × ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÊ ÐÌÏÓËÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÀ
f (z) = u + iv ÐÏ ÚÁÄÁÎÎÏÊ ÅÅ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÞÁÓÔÉ u(x, y) = x 2 − y 2 + 2x,
ÅÓÌÉ f (i) = −1 + 2i.
    òÅÛÅÎÉÅ: éÚ ÕÓÌÏ×ÉÊ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ ÉÍÅÅÍ:
                                  ∂u ∂v
                                    =   = 2x + 2.
                                  ∂x ∂y
ðÏÜÔÏÍÕ                       Z
                  v(x, y) =       (2x + 2)dy = (2x + 2)y + c(x).

Страницы