Теория функций комплексного переменного. - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ 29
É ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
∂u
∂r
= nr
n−1
cos nϕ,
∂u
∂ϕ
= −nr
n
sin nϕ,
∂v
∂r
= nr
n−1
sin nϕ,
∂v
∂ϕ
= nr
n
cos nϕ.
õÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉòÉÍÁÎÁ × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ.
4.3. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÍÏÄÕÌÑ É ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ
ðÕÓÔØ w = f(z) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ z
0
É f
0
(z
0
) 6= 0. ðÕÓÔØ C ËÒÉ-
×ÁÑ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ z
0
. þÅÒÅÚ • ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÂÒÁÚ ËÒÉ×ÏÊ C ÐÒÉ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ w = f (z), ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ w
0
= f(z
0
).
ðÕÓÔØ ϕ ÕÇÏÌ, ÏÂÒÁÚÕÅÍÙÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ËÒÉ×ÏÊ C × ÔÏÞËÅ z
0
É ÐÏ-
ÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ × ÐÌÏÓËÏÓÔÉ z, Á θ ÕÇÏÌ,
ÏÂÒÁÚÕÅÍÙÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ËÒÉ×ÏÊ • × ÔÏÞËÅ w
0
= f (z
0
) Ó ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ
ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ × ÐÌÏÓËÏÓÔÉ w (ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ
ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ × ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÞÔÏ É ËÒÉ×ÙÅ). óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
θ = ϕ + arg f
0
(z
0
).
ðÕÓÔØ z ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ËÒÉ×ÏÊ C. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
–z = z − z
0
, –w = w − w
0
.
ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ C × ÔÏÞËÅ z
0
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅ-
ÄÅÌ
lim
–z→0
|–w|
|–z|
.
íÏÄÕÌØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ |f
0
(z
0
)| ÒÁ×ÅÎ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ
ËÒÉ×ÏÊ C × ÔÏÞËÅ z
0
.
§4. äÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÆÕÎËÃÉÊ                              29

É ×ÙÞÉÓÌÉÍ ÞÁÓÔÎÙÅ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ
                 ∂u                      ∂u
                     = nrn−1 cos nϕ,         = −nrn sin nϕ,
                 ∂r                      ∂ϕ
                  ∂v                      ∂v
                     = nrn−1 sin nϕ,         = nrn cos nϕ.
                  ∂r                     ∂ϕ
õÓÌÏ×ÉÑ ëÏÛÉ òÉÍÁÎÁ × ÐÏÌÑÒÎÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁÔÁÈ ×ÙÐÏÌÎÅÎÙ.

4.3. çÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÉÊ ÓÍÙÓÌ ÍÏÄÕÌÑ É ÁÒÇÕÍÅÎÔÁ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ

ðÕÓÔØ w = f (z) ÉÍÅÅÔ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÕÀ × ÔÏÞËÅ z0 É f 0(z0 ) 6= 0. ðÕÓÔØ C ËÒÉ-
×ÁÑ, ÐÒÏÈÏÄÑÝÁÑ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ z0 . þÅÒÅÚ • ÏÂÏÚÎÁÞÉÍ ÏÂÒÁÚ ËÒÉ×ÏÊ C ÐÒÉ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ w = f (z), ÐÒÏÈÏÄÑÝÅÊ ÞÅÒÅÚ ÔÏÞËÕ w0 = f (z0).




   ðÕÓÔØ ϕ ÕÇÏÌ, ÏÂÒÁÚÕÅÍÙÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ËÒÉ×ÏÊ C × ÔÏÞËÅ z0 É ÐÏ-
ÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ × ÐÌÏÓËÏÓÔÉ z, Á θ ÕÇÏÌ,
ÏÂÒÁÚÕÅÍÙÊ ËÁÓÁÔÅÌØÎÏÊ Ë ËÒÉ×ÏÊ • × ÔÏÞËÅ w0 = f (z0) Ó ÐÏÌÏÖÉÔÅÌØÎÙÍ
ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÊ ÏÓÉ × ÐÌÏÓËÏÓÔÉ w (ËÁÓÁÔÅÌØÎÙÅ ÓÞÉÔÁÀÔÓÑ
ÎÁÐÒÁ×ÌÅÎÎÙÍÉ × ÔÕ ÖÅ ÓÔÏÒÏÎÕ, ÞÔÏ É ËÒÉ×ÙÅ). óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ï ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï
                            θ = ϕ + arg f 0(z0 ).
ðÕÓÔØ z ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÁÑ ÔÏÞËÁ ËÒÉ×ÏÊ C. ïÂÏÚÎÁÞÉÍ
                       –z = z − z0 , –w = w − w0 .
ëÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏÍ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ ËÒÉ×ÏÊ C × ÔÏÞËÅ z0 ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÐÒÅ-
ÄÅÌ
                                  |–w|
                              lim      .
                             –z→0 |–z|

  íÏÄÕÌØ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÏÊ |f 0(z0 )| ÒÁ×ÅÎ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÕ ÌÉÎÅÊÎÏÇÏ ÒÁÓÔÑÖÅÎÉÑ
ËÒÉ×ÏÊ C × ÔÏÞËÅ z0 .

Страницы