Теория функций комплексного переменного. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

20 §3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ
3.3. ïÂÝÁÑ ÓÔÅÐÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
ïÂÝÁÑ ÓÔÅÐÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
w = z
a
,
ÇÄÅ a = α + iβ -ÌÀÂÏÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
z
a
= e
a Ln z
.
üÔÏ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÇÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÏ z
a
= e
a ln z
.
úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÅÐÅÎØ Ó ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ
ÐÏÄÌÅÖÉÔ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÐÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÓÔÅÐÅÎÅÊ, Á ÔÁËÖÅ
ÐÒÁ×ÉÌÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÐÒÉ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÉ ÓÔÅÐÅÎÉ × ÓÔÅÐÅÎØ. ôÁË
z
a
1
z
a
2
= e
a
1
Ln z
e
a
2
Ln z
= e
a
1
Ln z+a
2
Ln z
6= e
(a
1
+a
2
) Ln z
= z
a
1
+a
2
É
(z
a
1
)
a
2
= (e
a
1
Ln z
)
a
2
= e
a
2
(a
1
(Ln z+i2kπ))
6= e
a
2
a
1
Ln z
.
ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÏÂÒÁÚ ÌÉÎÉÉ Á) x = 1, Â) |z| = 2, ×) arg z =
π
6
ÐÒÉ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ w = z
2
.
òÅÛÅÎÉÅ: Á) äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÚÁÐÉÛÅÍ w × ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁ-
ÔÁÈ:
w = z
2
= (x + iy)
2
= x
2
− y
2
+ i2xy, Re w = u = x
2
− y
2
, Im w = v = 2xy.
ðÕÓÔØ x = 1. ôÏÇÄÁ u = 1 − y
2
É v = 2y. éÓËÌÀÞÁÑ y ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ,
ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ u = 1 −
v
2
4
. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÒÁÚ ÐÒÑÍÏÊ x = 1 ÅÓÔØ ÐÁÒÁÂÏÌÁ
u = 1 −
v
2
4
.
Â) ðÕÓÔØ |z| = 2. ôÏÇÄÁ |w| = |z|
2
= 4 É Arg w = 2 Arg z. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅ-
ÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÌÅ×ÏÊ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z| = 2, −
π
2
< arg z 6
π
2
ÓÌÕÖÉÔ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |w| = 4, −π < arg w 6 π.
ïÂÒÁÚÏÍ ÐÒÁ×ÏÊ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z| = 2, −π < arg z 6 −
π
2
,
π
2
< arg z 6 π
ÓÌÕÖÉÔ ÔÁ ÖÅ ÓÁÍÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |w| = 4, −π < arg w 6 π.
ðÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z| = 2 ÓÌÕÖÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ|w| = 4,
ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÏÂÅÇÁÅÔÓÑ Ä×Á ÒÁÚÁ.
×) ðÕÓÔØ arg z =
π
6
. ôÏÇÄÁ Arg w = 2 arg z + 2πk =
π
3
+ 2πk .
ðÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ |z| ÏÔ 0 ÄÏ +∞, |w| ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÔ 0 ÄÏ +∞ É ÌÕÞ arg z =
π
6
ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÌÕÞ arg z =
π
3
.
3.4. ïÂÝÁÑ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
ïÂÝÁÑ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
w = a
z
,
20                                            §3. æÕÎËÃÉÉ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ

3.3. ïÂÝÁÑ ÓÔÅÐÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ

ïÂÝÁÑ ÓÔÅÐÅÎÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
                                 w = za,
ÇÄÅ a = α + iβ -ÌÀÂÏÅ ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÞÉÓÌÏ, ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÒÁ×ÅÎÓÔ×ÏÍ
                                           z a = ea Ln z .
üÔÏ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ, ÇÌÁ×ÎÏÅ ÚÎÁÞÅÎÉÅ ËÏÔÏÒÏÊ ÒÁ×ÎÏ z a = ea ln z .
   úÁÍÅÔÉÍ, ÞÔÏ ÓÔÅÐÅÎØ Ó ÐÒÏÉÚ×ÏÌØÎÙÍ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÍ, ×ÏÏÂÝÅ ÇÏ×ÏÒÑ, ÎÅ
ÐÏÄÌÅÖÉÔ ÐÒÁ×ÉÌÕ ÓÌÏÖÅÎÉÑ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÐÒÉ ÕÍÎÏÖÅÎÉÉ ÓÔÅÐÅÎÅÊ, Á ÔÁËÖÅ
ÐÒÁ×ÉÌÕ ÕÍÎÏÖÅÎÉÑ ÐÏËÁÚÁÔÅÌÅÊ ÐÒÉ ×ÏÚ×ÅÄÅÎÉÉ ÓÔÅÐÅÎÉ × ÓÔÅÐÅÎØ. ôÁË
            z a1 z a2 = ea1 Ln z ea2 Ln z = ea1 Ln z+a2 Ln z 6= e(a1 +a2 ) Ln z = z a1 +a2
É
             (z a1 )a2 = (ea1 Ln z )a2 = ea2 (a1 (Ln z+i2kπ)) 6= ea2 a1 Ln z .
  ðÒÉÍÅÒ 6. îÁÊÔÉ ÏÂÒÁÚ ÌÉÎÉÉ Á) x = 1, Â) |z| = 2, ×) arg z = π6 ÐÒÉ
ÏÔÏÂÒÁÖÅÎÉÉ w = z 2 .
  òÅÛÅÎÉÅ: Á) äÌÑ ÒÅÛÅÎÉÑ ÚÁÄÁÞÉ ÚÁÐÉÛÅÍ w × ÄÅËÁÒÔÏ×ÙÈ ËÏÏÒÄÉÎÁ-
ÔÁÈ:
    w = z 2 = (x + iy)2 = x2 − y 2 + i2xy, Re w = u = x2 − y 2 , Im w = v = 2xy.
ðÕÓÔØ x = 1. ôÏÇÄÁ u = 1 − y 2 É v = 2y. éÓËÌÀÞÁÑ y ÉÚ ÜÔÉÈ ÕÒÁ×ÎÅÎÉÊ,
                         2
ÂÕÄÅÍ ÉÍÅÔØ u = 1 − v4 . ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÏÂÒÁÚ ÐÒÑÍÏÊ x = 1 ÅÓÔØ ÐÁÒÁÂÏÌÁ
          2
u = 1 − v4 .
   Â) ðÕÓÔØ |z| = 2. ôÏÇÄÁ |w| = |z|2 = 4 É Arg w = 2 Arg z. ïÔÓÀÄÁ ÓÌÅ-
ÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÌÅ×ÏÊ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z| = 2, − π2 < arg z 6 π2 ÓÌÕÖÉÔ
ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |w| = 4, −π < arg w 6 π.
   ïÂÒÁÚÏÍ ÐÒÁ×ÏÊ ÐÏÌÕÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z| = 2, −π < arg z 6 − π2 , π2 < arg z 6 π
ÓÌÕÖÉÔ ÔÁ ÖÅ ÓÁÍÁÑ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ |w| = 4, −π < arg w 6 π.
   ðÏÌÕÞÉÌÉ, ÞÔÏ ÏÂÒÁÚÏÍ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z| = 2 ÓÌÕÖÉÔ ÏËÒÕÖÎÏÓÔØ|w| = 4,
ËÏÔÏÒÁÑ ÐÒÏÂÅÇÁÅÔÓÑ Ä×Á ÒÁÚÁ.
   ×) ðÕÓÔØ arg z = π6 . ôÏÇÄÁ Arg w = 2 arg z + 2πk = π3 + 2πk .
   ðÒÉ ÉÚÍÅÎÅÎÉÉ |z| ÏÔ 0 ÄÏ +∞, |w| ÍÅÎÑÅÔÓÑ ÏÔ 0 ÄÏ +∞ É ÌÕÞ arg z = π6
ÐÅÒÅÈÏÄÉÔ × ÌÕÞ arg z = π3 .

3.4. ïÂÝÁÑ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ

ïÂÝÁÑ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÁÑ ÆÕÎËÃÉÑ
                                              w = az ,

Страницы