Теория функций комплексного переменного. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

14 §2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ
òÑÄ ÉÚ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, Á ÚÎÁÞÉÔ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ
∞
P
n=1
1
n
3/4
+i
.
2.3. áÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÒÑÄÙ
òÑÄ
∞
P
n=1
z
n
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
∞
P
n=1
|z
n
|.
áÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
ðÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÒÑÄÏ× ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÐÏÌØÚÏ-
×ÁÔØÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÐÒÉÚÎÁËÁÍÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×, × ÞÁÓÔ-
ÎÏÓÔÉ, ÐÒÉÚÎÁËÁÍÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÒÉÚÎÁËÏÍ äÁÌÁÍÂÅÒÁ É ÐÒÉÚÎÁËÏÍ ëÏÛÉ.
ðÒÉÍÅÒ 5. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
∞
X
n=1
(in)
n
3
n
n!
.
òÅÛÅÎÉÅ: éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÒÑÄ ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ, Ô.Å. ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ
ÒÑÄ
∞
X
n=1
(in)
n
3
n
n!
.
ôÁË ËÁË
(in)
n
3
n
n!
=
|(in)
n
|
3
n
n!
=
|in|
n
3
n
n!
=
n
n
3
n
n!
,
ÔÏ
∞
X
n=1
(in)
n
3
n
n!
=
∞
X
n=1
n
n
3
n
n!
.
ðÕÓÔØ a
n
=
n
n
3
n
n!
. äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÑÄÁ ×ÏÓÐÏÌØ-
ÚÕÅÍÓÑ ÐÒÉÚÎÁËÏÍ äÁÌÁÍÂÅÒÁ
lim
n→∞
|a
n+1
|
|a
n
|
= lim
n→∞
(n + 1)
n+1
3
(
n + 1)(n + 1)!
3
n
n!
n
n
=
= lim
n→∞
1
3
(n + 1)
n
n
n
= lim
n→∞
(1 +
1
n
)
n
3
=
e
3
< 1.
ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ
∞
P
n=1
(in)
n
3
n
n!
, Á ÚÎÁÞÉÔ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ
∞
P
n=1
(in)
n
3
n
n!
.
úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÚ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ× ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ.
14                        §2. ðÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏÓÔÉ É ÒÑÄÙ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ

     òÑÄ ÉÚ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÙÈ ÞÁÓÔÅÊ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ, Á ÚÎÁÞÉÔ ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ
∞
         1
P
      n3/4 +i
              .
n=1


2.3. áÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÅÓÑ ÒÑÄÙ
        ∞
        P                                                            ∞
                                                                     P
òÑÄ          zn ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ, ÅÓÌÉ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ         |zn |.
       n=1                                                           n=1
   áÂÓÏÌÀÔÎÏ ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ.
   ðÒÉ ÉÓÓÌÅÄÏ×ÁÎÉÉ ÒÑÄÏ× ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÍÙ ÂÕÄÅÍ ÐÏÌØÚÏ-
×ÁÔØÓÑ ÉÚ×ÅÓÔÎÙÍÉ ÐÒÉÚÎÁËÁÍÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÚÎÁËÏÐÏÓÔÏÑÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×, × ÞÁÓÔ-
ÎÏÓÔÉ, ÐÒÉÚÎÁËÁÍÉ ÓÒÁ×ÎÅÎÉÑ, ÐÒÉÚÎÁËÏÍ äÁÌÁÍÂÅÒÁ É ÐÒÉÚÎÁËÏÍ ëÏÛÉ.
   ðÒÉÍÅÒ 5. éÓÓÌÅÄÏ×ÁÔØ ÎÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄ
                                ∞
                               X   (in)n
                                     n n!
                                          .
                               n=1
                                   3
  òÅÛÅÎÉÅ: éÓÓÌÅÄÕÅÍ ÒÑÄ ÎÁ ÁÂÓÏÌÀÔÎÕÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ, Ô.Å. ÉÓÓÌÅÄÕÅÍ
ÒÑÄ
                           ∞
                          X   (in)n
                                n n!
                                     .
                          n=1
                              3
ôÁË ËÁË
                          (in)n  |(in)n| |in|n  nn
                                = n     = n = n ,
                          3nn!    3 n!   3 n!  3 n!
ÔÏ
                               ∞            ∞
                              X   (in)n    X    nn
                                    n n!
                                         =       n n!
                                                      .
                              n=1
                                  3        n=1
                                               3
            nn
ðÕÓÔØ an = n . äÌÑ ÄÏËÁÚÁÔÅÌØÓÔ×Á ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÇÏ ÒÑÄÁ ×ÏÓÐÏÌØ-
           3 n!
ÚÕÅÍÓÑ ÐÒÉÚÎÁËÏÍ äÁÌÁÍÂÅÒÁ
    |an+1 |          (n + 1)n+1 3n n!
     lim    = lim (                   =
 n→∞ |an |    n→∞ 3 n + 1)(n + 1)! nn

                                   1 (n + 1)n          (1 + n1 )n   e
                             = lim             =   lim            =   < 1.
                               n→∞ 3      nn      n→∞      3        3
                                 P∞ (in)n
ïÔËÕÄÁ ÓÌÅÄÕÅÔ, ÞÔÏ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÒÑÄ        n n!
                                             , Á ÚÎÁÞÉÔ ÓÈÏÄÉÔÓÑ É ÒÑÄ
                                 n=1  3
P∞ (in)n
     n
         .
n=1 3 n!
   úÁÍÅÞÁÎÉÅ. éÚ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ× ÎÅ ÓÌÅÄÕÅÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ.

Страницы