Теория функций комплексного переменного. - 45 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ 45
231)
Z
|z|=
1
2
e
z
z(1 − z)
3
dz.
232)
Z
|z|=
3
2
e
z
z(1 − z)
3
dz.
233)
Z
|z−1|=
1
2
e
z
z(1 − z)
3
dz.
§7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎ-
ÎÏÊ ÒÑÄ
7.1. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ
óÔÅÐÅÎÎÙÍ ÒÑÄÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
= c
0
+ c
1
(z − z
0
) + c
2
(z − z
0
)
2
+ . . . + c
n
(z − z
0
)
n
+ . . . ,
ÇÄÅ c
n
É z
0
ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á z ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÅ.
åÓÌÉ z
0
= 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
∞
X
n=0
c
n
z
n
= c
0
+ c
1
z + c
2
z
2
+ . . . + c
n
z
n
+ . . .
ïÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ Ó
ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z
0
É ÒÁÄÉÕÓÏÍ R Ó ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ
ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ. òÁÄÉÕÓ ËÒÕÇÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
1
R
= lim
n→∞
n
p
|c
n
|
É
R = lim
n→∞
|c
n
|
|c
n+1
|
,
ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ
∞
P
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ÐÒÉ |z − z
0
| < R ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ,
Á ÐÒÉ |z −z
0
| > R ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ÎÁ ÏËÒÕÖ-
ÎÏÓÔÉ |z − z
0
| = R ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÕÓÔÙÍ, ÍÏÖÅÔ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÐÁÄÁÔØ Ó ÎÅÊ,
ÍÏÖÅÔ × ÏÄÎÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÈÏÄÉÔØÓÑ, Á × ÄÒÕÇÉÈ ÒÁÓÈÏÄÉÔØÓÑ.
§7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ                                         45

                    ez
          Z
   231)                   dz.
                z(1 − z)3
        |z|= 21
                    ez
          Z
   232)                   dz.
                z(1 − z)3
        |z|= 23
                       ez
           Z
   233)                     dz.
                  z(1 − z)3
         |z−1|= 21



  §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎ-
   ÎÏÊ ÒÑÄ
7.1. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ

óÔÅÐÅÎÎÙÍ ÒÑÄÏÍ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
   ∞
   X
         cn (z − z0 )n = c0 + c1 (z − z0 ) + c2 (z − z0 )2 + . . . + cn (z − z0 )n + . . . ,
   n=0
ÇÄÅ cn É z0 ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÅ ÞÉÓÌÁ, Á z ËÏÍÐÌÅËÓÎÏÅ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÅ.
   åÓÌÉ z0 = 0, ÔÏ ÐÏÌÕÞÁÅÍ ÒÑÄ ×ÉÄÁ
                     ∞
                     X
                           cn z n = c 0 + c 1 z + c 2 z 2 + . . . + c n z n + . . .
                     n=0

   ïÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÎÕÔÒÅÎÎÏÓÔØ ËÒÕÇÁ Ó
ÃÅÎÔÒÏÍ × ÔÏÞËÅ z0 É ÒÁÄÉÕÓÏÍ R Ó ×ÏÚÍÏÖÎÙÍ ÄÏÂÁ×ÌÅÎÉÅÍ ÔÏÞÅË, ÌÅÖÁÝÉÈ
ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ. òÁÄÉÕÓ ËÒÕÇÁ ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÁÄÉÕÓÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
                               1         p
                                 = lim n |cn |
                               R n→∞
É
                                          |cn |
                              R = lim           ,
                                   n→∞ |cn+1 |
ÅÓÌÉ ÐÒÅÄÅÌÙ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÀÔ.
                        ∞
                          cn (z − z0 )n ÐÒÉ |z − z0 | < R ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ,
                        P
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ
                               n=0
Á ÐÒÉ |z − z0 | > R ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. íÎÏÖÅÓÔ×Ï ÔÏÞÅË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ ÎÁ ÏËÒÕÖ-
ÎÏÓÔÉ |z − z0 | = R ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ ÐÕÓÔÙÍ, ÍÏÖÅÔ ÐÏÌÎÏÓÔØÀ ÓÏ×ÐÁÄÁÔØ Ó ÎÅÊ,
ÍÏÖÅÔ × ÏÄÎÉÈ ÔÏÞËÁÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ ÓÈÏÄÉÔØÓÑ, Á × ÄÒÕÇÉÈ ÒÁÓÈÏÄÉÔØÓÑ.

Страницы