Теория функций комплексного переменного. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

46 §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
∞
P
n=0
c
n
(z −z
0
)
n
ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ R > 0,
ÔÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÒÕÇ |z − z
0
| < R ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÒÕÇÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ.
åÓÌÉ R = ∞ ËÒÕÇÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÓÀ ËÏÍÐÌÅËÓÎÕÀ ÐÌÏÓËÏÓÔØ.
åÓÌÉ R = 0, ÔÏ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÞËÅ z = z
0
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
S(z) =
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ |z − z
0
| < R, É,
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÌÉ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − z
0
| = R. æÕÎËÃÉÑ S(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ËÒÕÇÅ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
∞
X
n=0
(z − i)
n
3
n
n
3
.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÉÍÅÅÍ |c
n
| =
1
3
n
n
3
. äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓ
ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
R = lim
n→∞
|c
n
|
|c
n+1
|
,
ÐÏÌÕÞÉÍ
R = lim
n→∞
3
n+1
(n + 1)
3
3
n
n
3
= lim
n→∞
3
1 +
1
n
3
= 3.
ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÓÈÏÄÉÔØÓÑ ÒÑÄ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z − i| = 3. äÌÑ ÞÅÇÏ
ÎÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÅÇÏ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÓÕÍÍÙ ÐÒÉ |z − i| = 3, Á
ÉÍÅÎÎÏ
(z − i)
n
3
n
n
3
=
3
n
3
n
n
3
=
1
n
3
.
éÚ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
∞
P
n=0
1
n
3
ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ
ÒÑÄÁ
∞
P
n=0
(z − i)
n
3
n
n
3
×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z − i| = 3. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ z , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − i| 6 3.
ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
∞
X
n=0
z
n
5
n
.
46             §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
                                              ∞
                                                    cn (z −z0 )n ÅÓÔØ ÞÉÓÌÏ R > 0,
                                              P
     åÓÌÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ
                                              n=0
ÔÏ ÏÔËÒÙÔÙÊ ËÒÕÇ |z − z0 | < R ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ËÒÕÇÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÜÔÏÇÏ ÒÑÄÁ.
åÓÌÉ R = ∞ ËÒÕÇÏÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÎÁÚÙ×ÁÀÔ ×ÓÀ ËÏÍÐÌÅËÓÎÕÀ ÐÌÏÓËÏÓÔØ.
åÓÌÉ R = 0, ÔÏ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÔÏÌØËÏ × ÔÏÞËÅ z = z0 .
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
                                 ∞
                                 X
                          S(z) =    cn (z − z0 )n
                                  n=0

ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ |z − z 0 | < R, É,
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÌÉ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − z0 | = R. æÕÎËÃÉÑ S(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ËÒÕÇÅ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
                                 ∞
                                X   (z − i)n
                                        n n3
                                             .
                                n=0
                                      3
                                      1
   òÅÛÅÎÉÅ: ðÏ ÕÓÌÏ×ÉÀ ÉÍÅÅÍ |cn | = n 3 . äÌÑ ÔÏÇÏ ÞÔÏÂÙ ÎÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓ
                                    3 n
ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ, ×ÏÓÐÏÌØÚÕÅÍÓÑ ÆÏÒÍÕÌÏÊ
                                       |cn |
                              R = lim         ,
                                  n→∞ |cn+1 |
ÐÏÌÕÞÉÍ
                                                          3
                           3n+1(n + 1)3
                                                   
                                                        1
                 R = lim                  = lim 3 1 +        = 3.
                     n→∞        3n n3        n→∞        n
ðÒÏ×ÅÒÉÍ, ÂÕÄÅÔ ÌÉ ÓÈÏÄÉÔØÓÑ ÒÑÄ ÎÁ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z − i| = 3. äÌÑ ÞÅÇÏ
ÎÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ ×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÅÇÏ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÓÕÍÍÙ ÐÒÉ |z − i| = 3, Á
ÉÍÅÎÎÏ
                              (z − i)n       3n     1
                                         =       =    .
                                3n n3      3n n3   n3
                      P∞ 1
éÚ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ          3
                              ÎÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÏ ÓÌÅÄÕÅÔ ÁÂÓÏÌÀÔÎÁÑ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ
                      n=0 n
       P∞ (z − i)n
ÒÑÄÁ         n 3
                   ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ ÏËÒÕÖÎÏÓÔÉ |z − i| = 3. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ,
       n=0 3 n
ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ z , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − i| 6 3.
   ðÒÉÍÅÒ 2. îÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
                                        ∞
                                      X    zn
                                             n
                                               .
                                       n=0
                                           5

Страницы