Теория функций комплексного переменного. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

48 §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
7.2. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ
ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z
0
(Ô.Å. ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁÑ ×
ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ É ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÅ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ). òÑÄ
∞
X
n=0
f
(n)
(z
0
)
n!
(z − z
0
)
n
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ f × ÔÏÞËÅ z
0
.
ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÐÉÓÁÔØ ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) = e
z
× ÔÏÞËÅ z = 0.
òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f (z) = e
z
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z = 0 É
f
(n)
(0) = e
z
|
z=0
= e
0
= 1.
ðÏÜÔÏÍÕ ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ f(z) = e
z
× ÔÏÞËÅ z = 0 ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ
∞
X
n=0
z
n
n!
.
7.3. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
÷ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÕÎËÔÅ ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ×ÎÕÔÒÉ ËÒÕÇÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ. ÷ÐÏÌÎÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÏ-
ÓÔÁ×ÉÔØ ×ÏÐÒÏÓ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ:
1) åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÒÕÇÅ |z −z
0
| < R,
ÔÏÇÄÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ ÏÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÐÒÅÄ-
ÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ
f(z) =
∞
X
n=0
f
(n)
(z
0
)
n!
(z − z
0
)
n
.
2) ëÁÖÄÙÊ ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ Ó×ÏÅÊ
ÓÕÍÍÙ.
ðÒÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
f(z) =
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ c
n
ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
c
n
=
f
(n)
(z
0
)
n!
. äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ ôÅÊÌÏÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
ÒÑÄ ÉÓËÕÓÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÐÒÉÅÍÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ ÐÒÉÅÍÁÍ, ÐÒÉÍÅÎÑÅÍÙÍ
48             §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

7.2. òÑÄÙ ôÅÊÌÏÒÁ

ðÕÓÔØ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z0 (Ô.Å. ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÕÅÍÁÑ ×
ÜÔÏÊ ÔÏÞËÅ É ÎÅËÏÔÏÒÏÊ ÅÅ ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ). òÑÄ
                            ∞
                            X f (n) (z0)
                                               (z − z0 )n
                            n=0
                                        n!
ÎÁÚÙ×ÁÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ f × ÔÏÞËÅ z0 .
   ðÒÉÍÅÒ 4. îÁÐÉÓÁÔØ ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) = ez × ÔÏÞËÅ z = 0.
   òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ f (z) = ez ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ÔÏÞËÅ z = 0 É
                          f (n) (0) = ez |z=0 = e0 = 1.
ðÏÜÔÏÍÕ ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ f (z) = ez × ÔÏÞËÅ z = 0 ÂÕÄÅÔ ÉÍÅÔØ ×ÉÄ
                                        ∞
                                        X zn
                                                   .
                                        n=0
                                              n!


7.3. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

÷ ÐÒÅÄÙÄÕÝÅÍ ÐÕÎËÔÅ ÂÙÌÏ ÓËÁÚÁÎÏ, ÞÔÏ ÓÕÍÍÁ ÓÔÅÐÅÎÎÏÇÏ ÒÑÄÁ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ
ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ ÆÕÎËÃÉÅÊ ×ÎÕÔÒÉ ËÒÕÇÁ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ. ÷ÐÏÌÎÅ ÅÓÔÅÓÔ×ÅÎÎÏ ÐÏ-
ÓÔÁ×ÉÔØ ×ÏÐÒÏÓ Ï ×ÏÚÍÏÖÎÏÓÔÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ
ÆÕÎËÃÉÉ. óÐÒÁ×ÅÄÌÉ×Ù ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÕÔ×ÅÒÖÄÅÎÉÑ:
    1) åÓÌÉ ÆÕÎËÃÉÑ f (z) ÏÄÎÏÚÎÁÞÎÁÑ É ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ × ËÒÕÇÅ |z − z 0 | < R,
       ÔÏÇÄÁ × ËÁÖÄÏÊ ÔÏÞËÅ ÜÔÏÇÏ ËÒÕÇÁ ÏÎÁ ÅÄÉÎÓÔ×ÅÎÎÙÍ ÏÂÒÁÚÏÍ ÐÒÅÄ-
       ÓÔÁ×ÌÑÅÔÓÑ ÓÈÏÄÑÝÉÍÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ
                                  ∞
                                  X f (n) (z0)
                        f (z) =                        (z − z0 )n .
                                  n=0
                                              n!
      2) ëÁÖÄÙÊ ÓÈÏÄÑÝÉÊÓÑ ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÒÑÄÏÍ ôÅÊÌÏÒÁ Ó×ÏÅÊ
         ÓÕÍÍÙ.
     ðÒÉ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÉ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
                                     ∞
                                     X
                           f (z) =            cn (z − z0 )n
                                        n=0
ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÙ cn ÄÁÌÅËÏ ÎÅ ×ÓÅÇÄÁ ÜÆÆÅËÔÉ×ÎÏ ×ÙÞÉÓÌÑÀÔÓÑ ÐÏ ÆÏÒÍÕÌÁÍ
      f (n) (z0 )
cn =              . äÌÑ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÑ ËÏÜÆÆÉÃÉÅÎÔÏ× ÒÑÄÁ ôÅÊÌÏÒÁ ÓÕÝÅÓÔ×ÕÅÔ
          n!
ÒÑÄ ÉÓËÕÓÓÔ×ÅÎÎÙÈ ÐÒÉÅÍÏ×, ËÏÔÏÒÙÅ ÁÎÁÌÏÇÉÞÎÙ ÐÒÉÅÍÁÍ, ÐÒÉÍÅÎÑÅÍÙÍ

Страницы