Теория функций комплексного переменного. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

50 §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
ïÔÓÀÄÁ, × ÓÉÌÕ ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ sin z, ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
sin z =
∞
X
n=0
(−1)
n
z
2n+1
(2n + 1)!
|z| < ∞.
ðÒÉÍÅÒ 6. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 0 ÆÕÎË-
ÃÉÀ
f(z) =
1
3
e
z
+ 2e
−
z
2
cos
z
√
3
2
!
.
òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ cos
z
√
3
2
ÞÅÒÅÚ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÐÏ
ÆÏÒÍÕÌÅ üÊÌÅÒÁ
cos
z
√
3
2
=
e
i
z
√
3
2
+ e
−i
z
√
3
2
2
.
ôÏÇÄÁ
2e
−
z
2
cos
z
√
3
2
= e
−
z
2
(1−i
√
3)
+ e
−
z
2
(1+i
√
3)
.
ïÐÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ e
z
=
∞
P
n=0
z
n
n!
, ÐÏÌÕÞÉÍ:
e
−
z
2
(1−i
√
3)
=
∞
X
n=0
(−
z
2
)
n
(1 − i
√
3)
n
n!
É
e
−
z
2
(1+i
√
3)
=
∞
X
n=0
(−
z
2
)
n
(1 + i
√
3)
n
n!
.
úÁÐÉÛÅÍ ÞÉÓÌÏ 1 + i
√
3 É 1 − i
√
3 × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.
|1 + i
√
3| = |1 − i
√
3| =
q
(1)
2
+ (
√
3)
2
= 2
É
arg(1 + i
√
3) =
π
3
, arg(1 − i
√
3) = −
π
3
.
ðÏÜÔÏÍÕ
1 + i
√
3 = 2(cos(
π
3
+ 2πk) + i sin(
π
3
+ 2πk)), k ∈ Z
É
1 − i
√
3 = 2(cos(−
π
3
+ 2πk) + i sin(−
π
3
+ 2πk)), k ∈ Z.
÷ÏÚ×ÅÄÅÍ ÏÂÁ ÞÉÓÌÁ × ÓÔÅÐÅÎØ n, ÐÏÌÕÞÉÍ
(1 + i
√
3)
n
= 2
n
(cos(
πn
3
+ 2πkn) + i sin(
πn
3
+ 2πkn)), k ∈ Z
50             §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ

ïÔÓÀÄÁ, × ÓÉÌÕ ÁÎÁÌÉÔÉÞÎÏÓÔÉ ÆÕÎËÃÉÉ sin z, ÐÏÌÕÞÉÍ ÒÁ×ÅÎÓÔ×Ï:
                           ∞           2n+1
                                   n z
                          X
                  sin z =     (−1)            |z| < ∞.
                          n=0
                                    (2n + 1)!
  ðÒÉÍÅÒ 6. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 0 ÆÕÎË-
ÃÉÀ
                                            √ !
                          1 z        z     z 3
                  f (z) =    e + 2e− 2 cos      .
                          3                 2
                                         √
  òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ cos z 2 3 ÞÅÒÅÚ ÐÏËÁÚÁÔÅÌØÎÕÀ ÆÕÎËÃÉÀ ÐÏ
ÆÏÒÍÕÌÅ üÊÌÅÒÁ
                                √           √
                                          iz23
                                                       √
                                                   −i z 2 3
                              z 3 e             +e
                         cos        =                       .
                                2                2
ôÏÇÄÁ                         √
                     z      z   3        z
                                               √            z
                                                                 √
                 2e− 2 cos        = e− 2 (1−i 3) + e− 2 (1+i 3) .
                              2
                                 ∞ zn
                          z
                                P
ïÐÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ e =             , ÐÏÌÕÞÉÍ:
                                n=0 n!
                                     ∞        z n
                                                           √ n
                       z
                             √      X     (−    ) (1 −   i    3)
                   e− 2 (1−i 3) =             2

                                    n=0
                                                   n!
É                                                    √
                                    ∞
                       − z2 (1+i
                                   √
                                   X
                                    3) (− z2 )n(1 + i 3)n
                      e         =                         .
                                   n=0
                                                n!
                        √          √
     úÁÐÉÛÅÍ ÞÉÓÌÏ 1 + i 3 É 1 − i 3 × ÔÒÉÇÏÎÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÆÏÒÍÅ.
                       √           √       q          √
                 |1 + i 3| = |1 − i 3| = (1)2 + ( 3)2 = 2
É                         √                       √
                               π                         π
                 arg(1 + i 3) = ,        arg(1 − i 3) = − .
                               3                         3
ðÏÜÔÏÍÕ
                 √            π               π
            1 + i 3 = 2(cos( + 2πk) + i sin( + 2πk)),         k∈Z
                              3               3
É              √             π                  π
          1 − i 3 = 2(cos(− + 2πk) + i sin(− + 2πk)),          k ∈ Z.
                             3                  3
÷ÏÚ×ÅÄÅÍ ÏÂÁ ÞÉÓÌÁ × ÓÔÅÐÅÎØ n, ÐÏÌÕÞÉÍ
             √               πn                  πn
       (1 + i 3)n = 2n (cos(    + 2πkn) + i sin(    + 2πkn)),     k∈Z
                              3                   3

Страницы