Теория функций комплексного переменного. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

52 §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
òÁÚÌÏÖÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ
1
z − 2
× ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ.
1
z − 2
= −
1
2
1
1 −
z
2
= −
1
2
∞
X
n=0
z
n
2
n
= −
∞
X
n=0
z
n
2
n+1
, |z| < 2.
ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
1
(z + 1)(z −2)
= −
1
3
(−1)
n
z
n
+
∞
X
n=0
z
n
2
n+1
!
, |z| < 1.
ðÒÉÍÅÒ 9. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1 ÆÕÎË-
ÃÉÀ
f(z) = ch z.
òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ ch z × ×ÉÄÅ:
ch z = ch(z − 1 + 1) = ch 1 ch(z − 1) + sh 1 sh(z − 1).
ïÂÏÚÎÁÞÉÍ z − 1 = u, ÔÏÇÄÁ ch(z − 1) = ch u É sh(z − 1) = sh u. ÷ÏÓÐÏÌØ-
ÚÕÅÍÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ ch u É sh u:
ch u =
∞
X
n=0
u
2n
(2n)!
, sh u =
∞
X
n=0
u
2n+1
(2n + 1)!
.
ïÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ
ch z = ch 1
∞
X
n=0
(z − 1)
2n
(2n)!
+ sh 1
∞
X
n=0
(z − 1)
2n+1
(2n + 1)!
.
úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ
îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×:
234)
∞
P
n=1
n
n
(z − i)
n
.
235)
∞
P
n=1
z + i
in
n
.
236)
∞
P
n=1
z
n
3
n
n
3
.
237)
∞
P
n=1
n
z + i
1 − i
n
.
îÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓÙ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×:
238)
∞
P
n=1
(2n)!
(n!)
2
z
n
.
52             §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
                    1
òÁÚÌÏÖÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ         × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ.
                  z−2
                                   ∞         ∞
              1     1 1         1 X zn      X    zn
                 =−          =−          =−           , |z| < 2.
             z−2    2 1 − 2z    2 n=0 2n    n=0
                                                2 n+1


     ïËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
                                                ∞
                                                             !
                   1           1          n n
                                               X    zn
                            =−        (−1) z +                   , |z| < 1.
             (z + 1)(z − 2)    3               n=0
                                                   2n+1
  ðÒÉÍÅÒ 9. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 1 ÆÕÎË-
ÃÉÀ
                            f (z) = ch z.
  òÅÛÅÎÉÅ: ðÒÅÄÓÔÁ×ÉÍ ÆÕÎËÃÉÀ ch z × ×ÉÄÅ:
             ch z = ch(z − 1 + 1) = ch 1 ch(z − 1) + sh 1 sh(z − 1).
   ïÂÏÚÎÁÞÉÍ z − 1 = u, ÔÏÇÄÁ ch(z − 1) = ch u É sh(z − 1) = sh u. ÷ÏÓÐÏÌØ-
ÚÕÅÍÓÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅÍ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÆÕÎËÃÉÉ ch u É sh u:
                        ∞                    ∞
                       X    u2n             X     u2n+1
                ch u =           ,   sh u =               .
                       n=0
                           (2n)!            n=0
                                                (2n + 1)!
ïÔËÕÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ
                              ∞                      ∞
                              X (z − 1)2n            X (z − 1)2n+1
                ch z = ch 1                 + sh 1                     .
                              n=0
                                    (2n)!            n=0
                                                           (2n + 1)!

úÁÄÁÞÉ ÄÌÑ ÓÁÍÏÓÔÏÑÔÅÌØÎÏÇÏ ÒÅÛÅÎÉÑ

îÁÊÔÉ ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×:
        ∞
           nn (z − i)n .
       P
  234)
       n=1         n
       P∞    z+i
  235)                  .
       n=1     in
       P∞ zn
  236)      n n3
                  .
       n=1 3          n
       P∞       z+i
  237)     n              .
       n=1      1  − i
îÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓÙ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÓÌÅÄÕÀÝÉÈ ÓÔÅÐÅÎÎÙÈ ÒÑÄÏ×:
        ∞ (2n)!
                   zn.
       P
  238)          2
       n=1 (n!)

Страницы