Теория функций комплексного переменного. - 51 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ 51
É
(1 − i
√
3)
n
= 2(cos(
πn
3
+ 2πkn) − i sin(
πn
3
+ 2πk)), k ∈ Z.
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ:
e
−
z
2
(1+i
√
3)
=
∞
X
n=0
(−
z
2
)
n
2
n
cos
πn
3
n!
+ i
∞
X
n=0
(−
z
2
)
n
2
n
sin
πn
3
n!
É
e
−
z
2
(1+i
√
3)
=
∞
X
n=0
(−
z
2
)
n
2
n
cos
πn
3
n!
+ i
∞
X
n=0
(−
z
2
)
n
2
n
sin
πn
3
n!
.
éÚ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÉÍÅÅÍ:
e
z
+ 2e
−
z
2
cos
z
√
3
2
= 2
∞
X
n=0
(−z)
n
cos
πn
3
n!
+
∞
X
n=0
z
n
n!
.
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ n = 1, 2, . . . , 6, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
f(z) =
1
3
e
z
+ 2e
−
z
2
cos
z
√
3
2
!
=
∞
X
n=0
z
3n
(3n)!
.
ðÒÉÍÅÒ 7. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÀ
f(z) =
1
(1 − z)
2
.
òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ f(z) =
1
(1 − z)
2
× ×ÉÄÅ
1
(1 − z)
2
=
1
1 − z
0
.
ïÔÓÀÄÁ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ
1
1−z
=
∞
P
n=0
z
n
, ÐÏÌÕÞÉÍ
1
(1 − z)
2
=
∞
X
n=0
z
n
!
0
=
∞
X
n=0
(z
n
)
0
=
∞
X
n=0
(n + 1)z
n
, |z| < 1.
ðÒÉÍÅÒ 8. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 0 ÆÕÎË-
ÃÉÀ
f(z) =
1
(z + 1)(z −2)
.
òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ f(z) =
1
(z + 1)(z −2)
× ×ÉÄÅ:
1
(z + 1)(z −2)
= −
1
3
1
z + 1
−
1
z −2
.
§7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ                                         51

É           √                  πn                     πn
      (1 − i 3)n = 2(cos(          + 2πkn) − i sin(       + 2πk)),         k ∈ Z.
                                3                      3
ïÔÓÀÄÁ ÐÏÌÕÞÉÍ:
                             ∞                         ∞
                      √
             − z2 (1+i 3)
                            X    (− z2 )n2n cos πn
                                                 3
                                                      X   (− z2 )n2n sin πn
                                                                          3
           e              =                        +i
                            n=0
                                         n!           n=0
                                                                  n!
É                            ∞                         ∞
                     √
            − z2 (1+i 3)
                            X   (− z2 )n2n cos πn
                                                3
                                                      X   (− z2 )n2n sin πn
                                                                          3
          e               =                        +i                       .
                            n=0
                                         n!           n=0
                                                                  n!
éÚ ÐÏÌÕÞÅÎÎÙÈ ÒÁ×ÅÎÓÔ× ÉÍÅÅÍ:
                          √       ∞                  ∞
             z      z
                   −2   z   3    X   (−z)n cos πn
                                                3
                                                    X   zn
            e + 2e cos        =2                  +        .
                          2      n=0
                                         n!         n=0
                                                        n!
ðÏÄÓÔÁ×ÌÑÑ ÐÏÓÌÅÄÏ×ÁÔÅÌØÎÏ n = 1, 2, . . . , 6, ÏËÏÎÞÁÔÅÌØÎÏ ÐÏÌÕÞÉÍ
                                         √ !       ∞
                       1 z      − 2z   z 3        X    z 3n
               f (z) =   e + 2e cos             =           .
                       3                  2       n=0
                                                      (3n)!
  ðÒÉÍÅÒ 7. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ ÆÕÎËÃÉÀ
                                        1
                            f (z) =            .
                                    (1 − z)2
                                               1
  òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ f (z) =                  × ×ÉÄÅ
                                          (1 − z)2
                                              0
                             1            1
                                   =              .
                         (1 − z)2      1−z
                                      ∞
                                1
                                         z n , ÐÏÌÕÞÉÍ
                                     P
ïÔÓÀÄÁ, ÉÓÐÏÌØÚÕÑ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ 1−z   =
                                                        n=0
                           ∞
                                         !0       ∞              ∞
               1           X
                                     n
                                                  X
                                                         n 0
                                                                 X
                     =           z            =         (z ) =         (n + 1)z n , |z| < 1.
            (1 − z)2       n=0                    n=0            n=0
  ðÒÉÍÅÒ 8. òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ × ÏËÒÅÓÔÎÏÓÔÉ ÔÏÞËÉ z = 0 ÆÕÎË-
ÃÉÀ
                                      1
                        f (z) =                .
                                (z + 1)(z − 2)
                                               1
  òÅÛÅÎÉÅ: úÁÐÉÛÅÍ ÆÕÎËÃÉÀ f (z) =                     × ×ÉÄÅ:
                                        (z + 1)(z − 2)
                                                    
                     1             1     1        1
                               =−            −         .
               (z + 1)(z − 2)      3 z+1 z−2

Страницы