Теория функций комплексного переменного. - 49 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

§7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ 49
× ÓÌÕÞÁÅ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ
ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÁÂÌÉÞÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
e
z
=
∞
P
n=0
z
n
n!
= 1 + z +
z
2
2!
+
z
3
3!
+ . . . +
x
n
n!
+ . . . , |z| < ∞,
sin z =
∞
P
n=0
(−1)
n
z
2n+1
(2n+1)!
= z −
z
3
3!
+
z
5
5!
− . . . + (−1)
n
z
2n+1
(2n+1)!
+ . . . ,
|z| < ∞,
cos z =
∞
P
n=0
(−1)
n
z
2n
(2n)!
= 1 −
z
2
2!
+
z
4
4!
− . . . + (−1)
n
z
2n
(2n)!
+ . . . , |z| < ∞,
sh z =
∞
P
n=0
z
2n+1
(2n+1)!
= z +
z
3
3!
+
z
5
5!
+ . . . +
z
2n+1
(2n+1)!
+ . . . , |z| < ∞,
ch z =
∞
P
n=0
z
2n
(2n)!
= 1 +
z
2
2!
+
z
4
4!
+ . . . +
z
2n
(2n)!
+ . . . , |z| < ∞,
(1 + z)
m
= 1 +
∞
P
n=1
m(m−1)(m−2)...(m−n+1)
n!
z
n
= 1 + mz +
m(m−1)
2!
z
2
+
+
m(m−1)(m−2)
3!
z
3
+ . . . +
m(m−1)(m−2)...(m−n+1)
n!
z
n
+ . . . ,
m ∈ Z, |z| < 1.
ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ.
1
1+z
= 1 − z + z
2
− z
3
+ . . . + (−1)
n
z
n
+ . . . , |z| < 1,
1
1−z
= 1 + z + z
2
+ z
3
+ . . . + z
n
+ . . . , |z| < 1.
ðÒÉÍÅÒ 5. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ f
(n)
(0) ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ
ÆÏÒÍÕÌÕ:
sin z =
∞
X
n=1
(−1)
n
z
2n+1
(2n + 1)!
, |z| < ∞.
òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ sin z ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÉ |z| < ∞. îÁÐÉÛÅÍ ÒÑÄ
ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ sin z × ÔÏÞËÅ z = 0:
∞
X
n=0
sin
(n)
(0)
n!
z
n
.
îÁÊÄÅÍ sin
(n)
(0).
1) ðÕÓÔØ n = 2k+1, ÔÏÇÄÁ sin
(2k+1)
(0) = (−1)
k
cos(0) = (−1)
k
, k = 0, 1, . . .
2) ðÕÓÔØ n = 2k, ÔÏÇÄÁ sin
(2k)
(0) = (−1)
k
sin(0) = 0, k = 0, 1, . . .
ôÏÇÄÁ ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ sin z × ÔÏÞËÅ z = 0 ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
∞
X
n=0
(−1)
n
z
2n+1
(2n + 1)!
.
§7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ                                                      49

× ÓÌÕÞÁÅ ÆÕÎËÃÉÊ ÄÅÊÓÔ×ÉÔÅÌØÎÏÇÏ ÐÅÒÅÍÅÎÎÏÇÏ. ðÒÉ ÜÔÏÍ ÉÓÐÏÌØÚÕÀÔÓÑ
ÏÓÎÏ×ÎÙÅ ÔÁÂÌÉÞÎÙÅ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÑ
             ∞ n
                z            z2   z3           xn
    ez
             P
          =     n! = 1 + z + 2! + 3! + . . . + n! + . . . , |z| < ∞,
                 n=0
                  ∞              2n+1
                            z                          z3         z5                    z    2n+1
                     (−1)n (2n+1)!                                     − . . . + (−1)n (2n+1)!
                 P
   sin z   =                       =z−                 3!
                                                            +     5!
                                                                                               + ...,
                 n=0
                                                                                                     |z| < ∞,
                 ∞               2n
                            z                     z2         z4                    z    2n
                     (−1)n (2n)!                                  − . . . + (−1)n (2n)!
                 P
   cos z   =                     =1−              2!    +    4!                         + ...,       |z| < ∞,
                 n=0
                  ∞
                        z 2n+1               z3        z5                 z 2n+1
                 P
    sh z   =           (2n+1)!   =z+         3!   +    5!   + ...+       (2n+1)!   + ...,      |z| < ∞,
                 n=0
                  ∞
                      z 2n              z2        z4                    z 2n
                 P
   ch z    =         (2n)!   =1+        2!   +    4!   + ...+          (2n)!   + ...,   |z| < ∞,
                 n=0
                       ∞
                             m(m−1)(m−2)...(m−n+1) n                                    m(m−1) 2
 (1 + z)m = 1 +
                      P
                                      n!          z                    = 1 + mz +         2!  z +
                     n=1
                   m(m−1)(m−2) 3                            m(m−1)(m−2)...(m−n+1) n
                 +      3!
                              z          + ...+                      n!
                                                                                 z            + ...,
                                                                                              m ∈ Z, |z| < 1.
   ðÒÉ×ÅÄÅÍ ÎÅËÏÔÏÒÙÅ ÞÁÓÔÎÙÅ ÓÌÕÞÁÉ ÐÏÓÌÅÄÎÅÊ ÆÏÒÍÕÌÙ.
            1
           1+z    = 1 − z + z 2 − z 3 + . . . + (−1)nz n + . . . , |z| < 1,
            1
           1−z    = 1 + z + z 2 + z 3 + . . . + z n + . . . , |z| < 1.
  ðÒÉÍÅÒ 5. îÅÐÏÓÒÅÄÓÔ×ÅÎÎÙÍ ×ÙÞÉÓÌÅÎÉÅÍ f (n) (0) ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÕÀ
ÆÏÒÍÕÌÕ:
                         ∞           2n+1
                                 n z
                        X
                sin z =     (−1)            , |z| < ∞.
                        n=1
                                  (2n + 1)!
  òÅÛÅÎÉÅ: æÕÎËÃÉÑ sin z ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÁÑ ÐÒÉ |z| < ∞. îÁÐÉÛÅÍ ÒÑÄ
ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ sin z × ÔÏÞËÅ z = 0:
                                             ∞
                                             X sin(n) (0)
                                                                       zn.
                                             n=0
                                                            n!

îÁÊÄÅÍ sin(n) (0).
   1) ðÕÓÔØ n = 2k+1, ÔÏÇÄÁ sin(2k+1)(0) = (−1)k cos(0) = (−1)k , k = 0, 1, . . .
   2) ðÕÓÔØ n = 2k, ÔÏÇÄÁ sin(2k) (0) = (−1)k sin(0) = 0, k = 0, 1, . . .
ôÏÇÄÁ ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÄÌÑ ÆÕÎËÃÉÉ sin z × ÔÏÞËÅ z = 0 ÚÁÐÉÛÅÔÓÑ × ×ÉÄÅ
                                         ∞           2n+1
                                                 n z
                                        X
                                            (−1)            .
                                        n=0
                                                  (2n + 1)!

Страницы