Теория функций комплексного переменного. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

54 §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
256) cos az =
∞
P
n=0
(−1)
n
a
2n
(2n)!
z
2n
.
ïÐÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ e
az
=
∞
P
n=0
a
n
n!
z
n
, ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ:
257) cos
√
z =
∞
P
n=0
(−1)
n
z
n
(2n)!
.
258)
1
4
(e
z
+ e
−z
+ 2 cos z) =
∞
P
n=0
z
4n
(4n)!
.
259) e
z ctg 1
=
∞
P
n=0
cos n
sin
n
1
·
z
n
n!
.
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÙ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ÐÕÔÅÍ
ÐÏÞÌÅÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ:
260)
2
(1 + z)
3
=
∞
P
n=0
(−1)
n
(n + 1)(n + 2)z
n
, |z| < 1.
261)
1
z
2
+ a
2
=
∞
P
n=0
(−1)
n
a
−2n−2
z
2n
, |z| < |a|, a 6= 0.
262)
1
(1 + z
2
)
2
=
∞
P
n=0
(−1)
n
(n + 1)z
2n
, |z| < 1.
òÁÚÌÏÖÉ× ÐÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ, ÐÕÔÅÍ ÐÏÞÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÙÈ ÆÕÎË-
ÃÉÊ:
263) ln(1 + z) =
∞
P
n=1
(−1)
n−1
z
n
n
, |z| < 1.
264) arctg z =
∞
P
n=0
(−1)
n
z
2n+1
2n + 1
, |z| < 1.
õËÁÚÁÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ z É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ
ÅÇÏ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ:
265) cos
2
iz
2
.
266) ch
2
z
2
.
267)
iz
z
2
+ i
.
268)
2z − 5
z
2
− 5z + 6
.
269)
z
(z
2
+ 1)(z
2
− 4)
.
270)
z
z
2
+ 2z + 2
.
òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ:
271) e
z
ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ (2z − 1).
54            §7. óÔÅÐÅÎÎÙÅ ÒÑÄÙ. òÁÚÌÏÖÅÎÉÅ ÆÕÎËÃÉÉ × ÓÔÅÐÅÎÎÏÊ ÒÑÄ
                ∞
                P      n           a2n 2n
   256) cos az =           (−1)           z .
                       n=0        (2n)!
                                              ∞ an
ïÐÉÒÁÑÓØ ÎÁ ÒÁÚÌÏÖÅÎÉÅ eaz =                        z n , ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ:
                                             P
                                             n=0 n!
              √          ∞             n
                                     z
                            (−1)n
                         P
   257) cos z =                            .
                        n=0        (2n)!
        1                                  ∞ z 4n
   258) (ez + e−z + 2 cos z) =
                                           P
                                                      .
        4                                 n=0 (4n)!
                        ∞ cos n z n
          z ctg 1
                       P
   259) e          =           n ·      .
                       n=0 sin 1 n!
éÓÐÏÌØÚÕÑ ÆÏÒÍÕÌÕ ÓÕÍÍÙ ÂÅÓËÏÎÅÞÎÏÊ ÇÅÏÍÅÔÒÉÞÅÓËÏÊ ÐÒÏÇÒÅÓÓÉÉ, ÐÕÔÅÍ
ÐÏÞÌÅÎÎÏÇÏ ÄÉÆÆÅÒÅÎÃÉÒÏ×ÁÎÉÑ ÄÏËÁÚÁÔØ ÆÏÒÍÕÌÙ:
              2            ∞
                              (−1)n(n + 1)(n + 2)z n , |z| < 1.
                          P
   260)              3
                       =
        (1 + z)           n=0
             1            ∞
                             (−1)na−2n−2z 2n , |z| < |a|, a 6= 0.
                         P
   261) 2          2
                       =
        z +a             n=0
               1            ∞
                               (−1)n(n + 1)z 2n , |z| < 1.
                            P
   262)                 =
        (1 + z 2 )2 n=0
òÁÚÌÏÖÉ× ÐÒÅÄ×ÁÒÉÔÅÌØÎÏ ÐÒÏÉÚ×ÏÄÎÙÅ, ÐÕÔÅÍ ÐÏÞÌÅÎÎÏÇÏ ÉÎÔÅÇÒÉÒÏ×ÁÎÉÑ
ÄÏËÁÚÁÔØ ÓÌÅÄÕÀÝÉÅ ÆÏÒÍÕÌÙ ÄÌÑ ÇÌÁ×ÎÙÈ ÚÎÁÞÅÎÉÊ ÍÎÏÇÏÚÎÁÞÎÙÈ ÆÕÎË-
ÃÉÊ:
                            ∞               n
                                    n−1 z
                            P
   263) ln(1 + z) =            (−1)           , |z| < 1.
                           n=1            n
                         ∞            2n+1
                                  n z
                         P
   264) arctg z =           (−1)              , |z| < 1.
                        n=0        2n + 1
õËÁÚÁÎÎÙÅ ÆÕÎËÃÉÉ ÒÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ z É ÏÐÒÅÄÅÌÉÔØ
ÅÇÏ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ:
                iz
   265) cos2 .
                 2
            2z
   266) ch .
              2
            iz
   267) 2         .
        z +i
             2z − 5
   268) 2                 .
        z − 5z + 6
                     z
   269) 2                       .
        (z + 1)(z 2 − 4)
                 z
   270) 2                 .
        z + 2z + 2
òÁÚÌÏÖÉÔØ × ÒÑÄ ôÅÊÌÏÒÁ:
   271) ez ÐÏ ÓÔÅÐÅÎÑÍ (2z − 1).

Страницы