Теория функций комплексного переменного. - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МГТУ ГА | Москва

Рубрика: 

56 §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ
0, ÔÏ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÓÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ
×ÙÂÒÏÛÅÎÁ ÔÏÞËÁ z = z
0
.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ
∞
P
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
S(z) =
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ |z − z
0
| > R, É,
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÌÉ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − z
0
| = R. æÕÎËÃÉÑ S(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
|z − z
0
| > R. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ
∞
P
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
S(z) =
∞
X
n=0
c
n
(z − z
0
)
n
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ |z − z
0
| > R, É,
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÌÉ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − z
0
| = R. æÕÎËÃÉÑ S(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
|z − z
0
| > R.
ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
∞
X
n=0
e
n
(z − i)
n
.
òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ.
r = lim
n→∞
n
p
|c
n
| = lim
n→∞
n
√
e
n
= e.
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ
∞
P
n=0
e
n
(z − i)
n
ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÐÒÉ |z − i| > e. éÓÓÌÅ-
ÄÕÅÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ËÒÕÇÁ |z −i| = e. äÌÑ ÞÅÇÏ ÎÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ
×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÅÇÏ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÓÕÍÍÙ, ÐÒÉ |z − i| = e, Á ÉÍÅÎÎÏ
e
n
(z − i)
n
= 1.
ôÁË ËÁË ÐÒÉ |z −i| = e ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ×
lim
n→∞
e
n
(z − i)
n
6= 0,
ÔÏ ÐÒÉ |z − i| = e ÒÑÄ
∞
P
n=0
e
n
(z − i)
n
ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ
ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ z, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ |z − i| > e.
56                        §8. òÑÄÙ ìÏÒÁÎÁ. éÚÏÌÉÒÏ×ÁÎÎÙÅ ÏÓÏÂÙÅ ÔÏÞËÉ

0, ÔÏ ÏÂÌÁÓÔØÀ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ×ÓÑ ËÏÍÐÌÅËÓÎÁÑ ÐÌÏÓËÏÓÔØ ÉÚ ËÏÔÏÒÏÊ
×ÙÂÒÏÛÅÎÁ ÔÏÞËÁ z = z0 .
                      P∞     cn
   ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ               n
                                      ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
                      n=0 (z − z0 )
                                     ∞
                                     X        cn
                            S(z) =
                                     n=0
                                           (z − z0 )n
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ |z − z 0 | > R, É,
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÌÉ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − z0 | = R. æÕÎËÃÉÑ S(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
                                  P∞     cn
|z − z0 | > R. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ               n
                                                  ÏÐÒÅÄÅÌÑÅÔ ÆÕÎËÃÉÀ
                                  n=0 (z − z0 )
                                     ∞
                                     X        cn
                            S(z) =
                                     n=0
                                           (z − z0 )n
ÄÌÑ ×ÓÅÈ ËÏÍÐÌÅËÓÎÙÈ ÞÉÓÅÌ, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ |z − z 0 | > R, É,
ÍÏÖÅÔ ÂÙÔØ, ÄÌÑ ÎÅËÏÔÏÒÙÈ ÉÌÉ ×ÓÅÈ ÞÉÓÅÌ , ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ
|z − z0 | = R. æÕÎËÃÉÑ S(z) Ñ×ÌÑÅÔÓÑ ÁÎÁÌÉÔÉÞÅÓËÏÊ × ÏÂÌÁÓÔÉ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ
|z − z0 | > R.
   ðÒÉÍÅÒ 1. îÁÊÔÉ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ É ÏÂÌÁÓÔØ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ
                                ∞
                               X      en
                                            n
                                              .
                               n=0
                                   (z −  i)
     òÅÛÅÎÉÅ: îÁÊÄÅÍ ÒÁÄÉÕÓ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÁ.
                             p             √
                     r = lim n |cn | = lim n en = e.
                           n→∞             n→∞
                      ∞     n
                      P   e
ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÒÑÄ             n
                                 ÓÈÏÄÉÔÓÑ ÁÂÓÏÌÀÔÎÏ ÐÒÉ |z − i| > e. éÓÓÌÅ-
                   n=0 (z − i)
ÄÕÅÍ ÓÈÏÄÉÍÏÓÔØ ÒÑÄÁ ÎÁ ÇÒÁÎÉÃÅ ËÒÕÇÁ |z − i| = e. äÌÑ ÞÅÇÏ ÎÁÊÄÅÍ ÍÏÄÕÌØ
×ÙÒÁÖÅÎÉÑ, ÓÔÏÑÝÅÇÏ ÐÏÄ ÚÎÁËÏÍ ÓÕÍÍÙ, ÐÒÉ |z − i| = e, Á ÉÍÅÎÎÏ
                                    en
                                          = 1.
                                 (z − i)n
ôÁË ËÁË ÐÒÉ |z − i| = e ÎÅ ×ÙÐÏÌÎÅÎ ÎÅÏÂÈÏÄÉÍÙÊ ÐÒÉÚÎÁË ÓÈÏÄÉÍÏÓÔÉ ÒÑÄÏ×
                                       en
                                lim         6= 0,
                               n→∞ (z − i)n
                        ∞
                        P     en
ÔÏ ÐÒÉ |z − i| = e ÒÑÄ             n
                                     ÒÁÓÈÏÄÉÔÓÑ. ôÁËÉÍ ÏÂÒÁÚÏÍ, ÉÓÓÌÅÄÕÅÍÙÊ
                       n=0 (z − i)
ÒÑÄ ÓÈÏÄÉÔÓÑ ×Ï ×ÓÅÈ ÔÏÞËÁÈ z, ÕÄÏ×ÌÅÔ×ÏÒÑÀÝÉÈ ÕÓÌÏ×ÉÀ |z − i| > e.

Страницы